Liczby bezkwadratowe

kluczyk · Post autor: **kluczyk** » 27 paź 2007, o 22:08

Liczbę naturalną większą od 1 nazywamy bezkwadratową, gdy nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby naturalnej większej od 1. Wykaż, że iloczyn dwóch liczb bezkwadratowych nie musi być liczbą bezkwadratową.

*Kasia · Post autor: *Kasia » 27 paź 2007, o 22:15

\(\displaystyle{ 2\cdot 2}\)

szablewskil · Post autor: **szablewskil** » 27 paź 2007, o 22:17

Załóżmy że te dwie liczby bezkwadratowe to \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ k=p*q}\) i \(\displaystyle{ l=p*r}\) gdzie (\(\displaystyle{ p,q,r}\) to liczby pierwsze)
Zatem iloczyn \(\displaystyle{ k*l=p^{2}*q*r}\) a wiec jest podzielny przez kwadrat liczby naturalnej (w tym przypadku pierwszej). To całe rozwiązanie, chyba o to chodziło?

kluczyk · Post autor: **kluczyk** » 27 paź 2007, o 22:23

A czemu założyłeś, że obie liczby składają się z tego samego czynnika p ?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 27 paź 2007, o 22:30

Bo właśnie w takiej sytuacji taki iloczyn będzie liczbą bezkwadratową.
Zauważ, że w poleceniu masz wskazać przykład takich liczb.
Możesz taki, możesz sobie wymyślić inny - jest ich nieskończenie wiele