Która z liczb jest większa; wykaż, że liczby są całko

[dorotka88]

1. Ktora z liczb wieksza? Jak to udowodnic?
\(\displaystyle{ \sqrt{11}-\sqrt{10}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{6}-\sqrt{5}}\)
2. Wykazac ze liczby sa calkowite
\(\displaystyle{ \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}\)
3. Sprawdzic czy zachodza rownosci:
\(\displaystyle{ \frac{29^{3}+17^{3}}{29^{3}+12^{3}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{29+17}{29+12}}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ a=\sqrt{11}-\sqrt{10},\ b= \sqrt{6}-\sqrt{5}\\
a^2=11-2\sqrt{110}+10=21-2\sqrt{110}\\
b^2=6-2\sqrt{30}+5=11-2\sqrt{30}\\}\)

Teraz zakladam, ze np. a>b, czyli:
\(\displaystyle{ 21-2\sqrt{110}>11-2\sqrt{30}\\
10>2\sqrt{110}-2\sqrt{30}\\
5>\sqrt{11\cdot 2\cdot 5}-{2\cdot 3\cdot 5}\\
5>\sqrt{10}(\sqrt{11}-\sqrt{3})\\
25>10(14-2\sqrt{33})\\
25>140-20\sqrt{33})\\
-115>-20\sqrt{33}\\
115}\)

[*Kasia]

Wskazówka do zadania 1:
\(\displaystyle{ \sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{11-10}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}}\)
Podobnie przedstaw drugą różnicę i wtedy spróbuj porównać.