Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

[Emiel Regis]

Należy pokazać że z przechodniości i przeciwzwrotności wynika antysymetryczność.

czyli wiemy że:
\(\displaystyle{ \sim(xRx) \\ xRy \wedge yRz => x Rz}\)
a mamy pokazać:
\(\displaystyle{ xRy \wedge yRx =>x=y}\)

Sprawdzamy prawdziwosc implikacji czyli wiemy że gdy poprzednik jest fałszywy to cała implikacja jest prawdziwa, to teraz jako drugi przypadek załóżmy sobie że poprzednik jest spełniony.
Wtedy z przechodniosci wiemy że \(\displaystyle{ xRx}\) natomiast z założen wiemy że \(\displaystyle{ \sim(xRx)}\).
I co teraz:|
W dowodzie wprost doszedłem do sprzecznosci...

[Tomasz Rużycki]

To znaczy, ze nie mozesz wybrac roznych \(\displaystyle{ x,y}\) spelniajacych zalozenia.

[Emiel Regis]

A potrafisz jakoś sformalizować ten dowód? Dowod w cudzysłowie bo to jak widać jest prawie że natychmiastowy wniosek...

[Sir George]

1. z przechodniości masz
\(\displaystyle{ x\mathcal{R}y\,\wedge\,y\mathcal{R}x\ \ x\mathcal{R}x\qqaud \qquad\ \qquad\ \mbox{(*)}}\)

2. z antyzwrotności wiesz, że następnik implikacji w \(\displaystyle{ \mbox{(*)}}\) jest fałszywy dla każdego \(\displaystyle{ x}\)

3. zatem dla \(\displaystyle{ \forall_x}\) poprzednik implikacji \(\displaystyle{ \mbox{(*)}}\) jest fałszywy

4. otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ \forall_x}\) implikacja \(\displaystyle{ x\mathcal{R}y\,\wedge\,y\mathcal{R}x\ \ x=y}\) jest prawdziwa

[Emiel Regis]

O własnie, dziekuje bardzo!