\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geqslant\sqrt{n}}\) dla kazdego \(\displaystyle{ n\inN}\)
doszedlem do czegos takiego \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}}}\) ale boje sie, ze to jest ślepa uliczka
Dowód nierówności
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Dowód nierówności
W kroku indukcyjnym trzeba pokazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt n+\frac1{\sqrt{n+1}}\geqslant\sqrt{n+1}}\), czyli że
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}+1\geqslant n+1}\)
a to jest oczywiście prawda, bo
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}+1>\sqrt{n^2}+1=n+1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt n+\frac1{\sqrt{n+1}}\geqslant\sqrt{n+1}}\), czyli że
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}+1\geqslant n+1}\)
a to jest oczywiście prawda, bo
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}+1>\sqrt{n^2}+1=n+1}\)