dwa dowody indukcyjne

[kawafis44]

\(\displaystyle{ (1+x)^{n}>=1+nx}\) dla naturalnego N, gdzie \(\displaystyle{ x>-1}\)
dla jedynki jest jasne
n=k Zakładamy, że \(\displaystyle{ (1+x)^{k}>=1+kx}\)
Sprawdzamy \(\displaystyle{ (1+x)^{k+1}>=1+(k+1)x}\)
\(\displaystyle{ (1+x)^{k}(1+x)>=1+kx+x}\)
\(\displaystyle{ L=(1+x)^{k+1}>=(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^{2}}\) i lipa

a drugi przyklad
\(\displaystyle{ 4^{n}+15n-1}\) jest wielokrotnością 9 dla każdego naturalnego N

[natkoza]

no to zacznijmu od pierwszego..... nie będę pisała od początku tylko zacznę od tego do cego doszedłeś
\(\displaystyle{ 1+x+kx+kx^{2}\geq 1+kx+x= 1+(k+1)x=P}\)
dodam dla ciekawostki, że ta nierównośc zwana jest nierównością Bernoulliego
teraz drugie
mamt podazać, że 9 dzieli \(\displaystyle{ 4^{n}+15n-1}\) , czyli
\(\displaystyle{ n=1\\
4+15-1=19-1=18=9\cdot 3\\
z: \exists_{c\in N} 4^{n}+15n-1=9c\\
t: \exists_{d\in N} 4^{n+1}+15(n+1)-1=9d\\
4^{n+1}+15(n+1)-1=4^{n}\cdot 4+15n+15-1 =4\cdot 4^{n}+4\cdot 15n+4\cdot (-1)+15-3\cdot 15n+3=4(4^{n}+15n-1)+18-45n=4\cdot 9c-27=4\cdot 9c+2\cdot 9+9\cdot 5n==9(9c+5n+2)}\)
mam nadzieje, ze sie jigdzie nie pomyliłam

[kawafis44]

pytanie formalne, czy ten zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ L=(1+x)^{k+1}>=(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^{2}\geq 1+kx+x= 1+(k+1)x=P}\)

czegos nie rozumiem, Natkoza - tego przeksztalcenia:
\(\displaystyle{ 4*4^{n}+15n+15-1=4*4^{n}+4*15n+4*(-1)+15+3-3*15}\)
mam wrażenie, jakby z prawej strony "zgubiło się" \(\displaystyle{ -3*15n}\)
(czyli prawdą jest, że \(\displaystyle{ 15n=4*15n-45}\) dlaczego?).