Układ równań liniowych

liszaj · Post autor: **liszaj** » 26 paź 2007, o 23:13

Nurtuje mnie pewna kwestia. Przypuśćmy, że mamy układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi - dokładnie taki, jak ten poniżej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+3y+2u-v=5\\4y-3x+2v+u=5\\2x+y-2u+3v=-1\\ 2y-x-2v-3u=-1\end{cases}}\)

Wiem, że zapewne można łatwo rozwiązać ten układ metodą wyznaczników macierzy, jednakże jestem ciekaw, czy istnieje jakiś sposób (niewykraczający poza wiedzę i umiejętności przeciętnego licealisty) na rozwikłanie tych równań (sam na takowy nie potrafiłem wpaść). Z góry dziękuję za wszelkie uwagi i okazaną pomoc.

exupery · Post autor: **exupery** » 26 paź 2007, o 23:39

Metodą podstawiania popróbuj

liszaj · Post autor: **liszaj** » 27 paź 2007, o 00:37

Rzeczywiście podstawianie od razu się nasuwa, jednakże byłoby to niezmiernie pracochłonne. Mnie natomiast intryguje, czy istnieje jakiś błyskotliwy i prosty sposób rozwikłania tego problemu.
Sam doszedłem do takich wniosków:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x+3y+2u-v=5\\4y-3x+2v+u=5\\2x+y-2u+3v=-1\\2y-x-2v-3u=-1 \end{array}}\)

Można więc przyrównać:
\(\displaystyle{ 4x+3y+2u-v=4y-3x+2v+u}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 7x-y+u-3v=0}\)

I jednocześnie:
\(\displaystyle{ 2x+y-2u+3v=2y-x-2v-3u}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 3x-y+u+5v=0}\)

Zatem otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 7x-y+u-3v=0\\3x-y+u+5v=0 \end{array}\iff\left\{\begin{array}{l} 7x-y+u-3v=0\\-3x+y-u-5v=0 \end{array}}\)

Przyrównując stronami mamy:
\(\displaystyle{ 4x-8v=0 \iff 4x=8v \iff x=4v}\)

Oczywiście to nam absolutnie niczego nie załatwia, a jedynie upraszcza relację między \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ v}\). Możemy oczywiście skorzystać z wyprowadzonego wniosku i wprowadzić je do pierwotnego układu nierówności, ale co dalej?