pochodna funkcji wielu zmiennych

[n13]

mam mały problem... nie moge sobie poradzić z takim przykładem: nalezy obliczyć pochodne pierwszego i drugiego stopnia następującej funkcji:
\(\displaystyle{ arcsin\left(\frac{x-y}{x}\right)}\)

[Sir George]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{x-y}{x}=1-\frac{y}{x}}\), a dalej korzystaj ze wzorów na pochodną f-cji złożonej.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\arcsin\big(\frac{x-y}{x}\big)\, =\, \frac1{\sqrt{1-\frac{(x-y)^2}{x^2}}}\cdot\frac{y}{x^2}\, =\, \frac1{x}\sqrt{\frac{y}{2x-y}}}\)

[n13]

Tak, tak, do tego samego udało mi się dojść.... Tylko nie mogę policzyć i dotrzeć do końcowego wyniku obliczenia pochodnej mieszanej tej funkcji.

[ Dodano: 26 Października 2007, 19:07 ]
... Oczywiście chodzi o policzenie pochodne mieszanej f-cji

Kod: Zaznacz cały

arcsinleft(frac{x-y}{x}
ight)

[ Dodano: 26 Października 2007, 19:27 ]
\(\displaystyle{ arcsin\left(\frac{x-y}{x}\right)}\)

[ Dodano: 26 Października 2007, 21:01 ]
Przy rozwiązywaniu kolejnych zadań, okazało się, ze nie mogę także poradzić sobie z obliczeniam pochodnej mieszanej funkcji
\(\displaystyle{ u=x^{2}arctg\frac{y}{x}-y^{2}arctg\frac{x}{y}}\). Robiłem ten wykład kilka razy, ale za żadne skarby nie wychodzi mi tak, jak jest w odpowiedzi. Jeśli można, proszę o krok po kroku,,, Być moze w któryms momencie zagalopowałem się...

[ Dodano: 26 Października 2007, 21:17 ]
Taka powinna być odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}u}{\partial x y}=\frac{\partial^{2}u}{\partial y x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\)

[ Dodano: 28 Października 2007, 13:17 ]
Z arcsin sobie jakos poradziłem, ale nadal nie mogę doprowadzić do należnej postaci


\(\displaystyle{ u=x^{2}arctg\frac{y}{x}-y^{2}arctg\frac{x}{y}}\)