Witam! Zadanie właściwie proste, ale jak się za ne zabrałem to nic nie wyszło Prosiłbym o rozwiązanie bądź wskazówki...pozdrawiam
Udowodnij, że ...
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{50 - 30\sqrt3} + \sqrt[3]{54 + 30\sqrt3}}\)
...jest liczbą naturalną.
Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54\pm30\sqrt[2]3}=\sqrt[3]{27\pm27\sqrt[2]3+27\pm3\sqrt[2]3}=\\
=\sqrt[3]{3^3\pm3\cdot3^2\cdot\sqrt[2]3+3\cdot3\cdot(\sqrt[2]3)^2\pm(\sqrt[2]3)^3}=\\
=\sqrt[3]{(3\pm\sqrt[2]3)^3}=3\pm\sqrt[2]3}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30\sqrt[2]3}+\sqrt[3]{54-30\sqrt[2]3}=\\
(3+\sqrt[2]3)+(3-\sqrt[2]3)=6\in\mathbb N}\)
W oryginalnej treści zadania oczywiście jest błąd - powinno być 54, a nie 50. Dla 50 nie dostaniemy liczby naturalnej.
=\sqrt[3]{3^3\pm3\cdot3^2\cdot\sqrt[2]3+3\cdot3\cdot(\sqrt[2]3)^2\pm(\sqrt[2]3)^3}=\\
=\sqrt[3]{(3\pm\sqrt[2]3)^3}=3\pm\sqrt[2]3}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30\sqrt[2]3}+\sqrt[3]{54-30\sqrt[2]3}=\\
(3+\sqrt[2]3)+(3-\sqrt[2]3)=6\in\mathbb N}\)
W oryginalnej treści zadania oczywiście jest błąd - powinno być 54, a nie 50. Dla 50 nie dostaniemy liczby naturalnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łostowice
- Pomógł: 146 razy
Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną
Obawiam się andkom, że gdzieś jest coś nie tak bo II linia nie równa się III
andkom pisze: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3^3\pm3\cdot3^2\cdot\sqrt[2]3+3\cdot3\cdot(\sqrt[2]3)^2\pm(\sqrt[2]3)^3}
\sqrt[3]{(3\pm\sqrt[2]3)^3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 19 paź 2006, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 12 razy
Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną
Dzięki wielkie! Tak teraz sobie zdaje sprawę, że tak będzie 54, a ja się męczyłem dla 50..hehe Dzięki jeszcze raz i pozdrawiam..