Wyjaśnienie wzoru

[Bialy]

Mógłby mi ktoś wytłumaczy to przejście w równaniu Ciołkowskiego?

\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt}=-u\frac{dm}{dt}}\)

to to samo co:

\(\displaystyle{ v=u*ln\frac{m}{m0}}\)

gdzie mo jest zmieniajaca sie masą.

Mógłby mi ktoś wytłumaczyc jak ze wzoru pierwszego dochodzi się do drugiego??

[andkom]

\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt}=-u\frac{dm}{dt}}\), czyli \(\displaystyle{ mv'(t)=-um'(t)}\), gdzie ' oznacza pochodną po czasie. u jest stałe, v i m są funkcjami t. Przekształcam:
\(\displaystyle{ m(t)v'(t)=-um'(t)\\
v'(t)=-u\frac{m'(t)}{m(t)}\\
v'(t)=-u(\ln m(t))'\\
(v(t)+u\ln m(t))'=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ v(t)+u\ln m(t)}\) jest funkcją stałą i
\(\displaystyle{ v(t)+u\ln m(t)=v(0)+u\ln m(0)=0+u\ln m_0\\
v(t)=u\ln m_0-u\ln m(t)\\
v=u\ln\frac{m_0}m}\)