Dany jest okrąg o środku w punkcie S (3,1) i promieniu r = 1. Wyznacz równania stycznych do tego okregu , które przechodzą przez początek układu współrzędnych
wiem, że te proste mają rówanie \(\displaystyle{ y = 0}\) i \(\displaystyle{ y}\) = \(\displaystyle{ \frac{3}{4}x}\), ale jak to obliczyć ? pomoże ktoś ?
okrąg
-
Mariusz123
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 15 cze 2007, o 22:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 40 razy
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
okrąg
Każda z naszych stycznych nasze ma równanie \(\displaystyle{ y=ax}\) z pemnym a (dla różnych stycznych różne a). Okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-3)^2+(y-1)^2=1}\). Szukamy takich a, by układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=ax\\(x-3)^2+(y-1)^2=1\end{cases}}\)
miał dokładnie jedno rozwiązanie (bo styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny).
Czyli jeden pierwiastek ma mieć równanie
\(\displaystyle{ (x-3)^2+(ax-1)^2=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ (a^2+1)x^2+(-6-2a)x+9=0}\)
Liczymy \(\displaystyle{ \Delta=(-6-2a)^2-4\cdot9\cdot(a^2+1)}\) i przyrównujemy do 0.
\(\displaystyle{ (-6-2a)^2-4\cdot9\cdot(a^2+1)=0}\)
Z otrzymanego równania kwadratowego wyliczamy a. Wychodzi \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ a=\frac34}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=ax\\(x-3)^2+(y-1)^2=1\end{cases}}\)
miał dokładnie jedno rozwiązanie (bo styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny).
Czyli jeden pierwiastek ma mieć równanie
\(\displaystyle{ (x-3)^2+(ax-1)^2=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ (a^2+1)x^2+(-6-2a)x+9=0}\)
Liczymy \(\displaystyle{ \Delta=(-6-2a)^2-4\cdot9\cdot(a^2+1)}\) i przyrównujemy do 0.
\(\displaystyle{ (-6-2a)^2-4\cdot9\cdot(a^2+1)=0}\)
Z otrzymanego równania kwadratowego wyliczamy a. Wychodzi \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ a=\frac34}\).
Ostatnio zmieniony 25 paź 2007, o 20:18 przez andkom, łącznie zmieniany 3 razy.