Jak obliczyc sume szeregu

[KuCyK]

Mam pytanie dotyczace tego jak takiego typu zadania ma sie rozwiazywac? co trzeba po kolei robic by bylo dobrze?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}}\)

wynik= 3/4

[Lorek]

Może skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)}\):
\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5} +\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)}\)

[KuCyK]

Może skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)}\):

czy jest jakis schemat do dochodzenia do takich postaci czy to po prostu zwykle kombinowanie?

[Lorek]

Jest takie coś jak rozkład na ułamki proste

[KuCyK]

a takiego typu tez podobnie czy to inne sposoby juz?


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} )}\)