Uzasadnij, że jeśli.....

[kubastan]

WItam wszystkich
Mam dla was takie o to zadanie:
zad.
Uzasadnij, ze jesli \(\displaystyle{ a^{x}+a^{-x} (a>0)}\) jest liczbą całkowita, to \(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}}\) tez jest liczba calkowita.
Z gory dzieki za pomoc

[andkom]

Ponieważ
\(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})^3-3(a^x+a^{-x})}\),
więc \(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}}\) jest liczbą całkowitą, jako różnica dwóch liczb całkowitych.

[kuch2r]

Lemat:
Jezeli \(\displaystyle{ a\equiv b \mod c^n a\equiv b \mod c}\)
Niech:
\(\displaystyle{ (a^{x}+a^{-x})\in Z}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2x}+1}{a^{x}}\in Z\Rightarrow a^{2x}+1\equiv 0 \mod a^{x}}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ a^{3x}+\frac{1}{a^{3x}}=\frac{a^{6x}+1}{a^{3x}}}\)
Wystarczy dalej dowiesc,ze:
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{3x}}\)
Na mocy lematu:
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{3x} a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{x}}\)
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{x}\\(a^{2x})^3+1\equiv 0 \mod a^x\\(-1)^{3}+1\equiv 0 \mod a^x}\)

[kubastan]

Jejku jakies mod tutaj widze;p Pamietam ze w informatyce mod oznacze dzielenie z reszta. TYlko ze nigdy czegos takiego nie bralismy i niestosowalismy w matematyce... Rozwiazanie adkoma jest raczej poprawne tylko ze wydaje sie troche zbyt proste;p Potraficie jeszcze to jakos udowodnic, tylko prosilbym rozwiazanie na miare klasy 3 liceum;p

[Piotr Rutkowski]

Ehem, rozwiązanie andkoma jest poprawne i nie wiem czemu chciałbyś zastosować jakieś inne.
kuch2r stosował tutaj kongruencje, o których możesz poczytać w naszym kompendium

[Undre]

Pamietam ze w informatyce mod oznacze dzielenie z reszta

a wrecz reszte z dzielenia