granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon »

Znajdź granicę ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ a_n=(n!)^{1/n}}\).
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski »

Udowodnimy, że ciąg ten jest rozbieżny do nieskończoności:
\(\displaystyle{ n!^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}{n}}=e^{\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}}=H=e^{\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1}}=e^{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}} \rightarrow \infty}\)
allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon »

nie rozumiem pierwszego znaku równości, nie wiem co to H, nie wiem czemu to ostatnie rośnie nieograniczenie
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: soku11 »

Pierwszy znak rownosci:
\(\displaystyle{ x=e^{\ln (x)}\ x>0\\}\)

To ze zwyklych logarytmow (tutaj masz podstawe e tylko).

Co do H - twierdzenie delopitala - poczytaj na np wikipedii. POZDRO
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski »

\(\displaystyle{ n!=e^{\ln (n!)}=e^{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}}\)
H oznacza regułę de l'Hospitala
liczymy wtedy pochodną licznika i mianownika (tutaj ograniczamy się w regule de l'Hospitala do wykładnika liczby e)
Ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) jest ciągiem harmonicznym rzędu pierwszego i jako taki jest rozbieżny do nieskończoności :wink:
allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon »

nie da sie tego zrobić tego nie używając tej reguły? nie znam jej jeszcze... Spróbuję zrozumieć, ale nie mogę przedstawić takiego rozwiązania... Wystarczy wskazówka.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Rogal »

Trochę bym się zastanowił nad stosowaniem de l'Hospitala przy funkcji nieciągłej, a więc nieróżniczkowalnej.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski »

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to \infty} f(x)}}\) :wink:
andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom »

Ustalmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ M}\). Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\geqslant 2M+\log_2M^{2M}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\geqslant\sqrt[n]{(2M+1)(2M+2)(2M+3)\cdots n}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{(2M)^{n-2M}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{n-2M}}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{\log_2M^{2M}}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}M^{2M}}
=\sqrt[n]{M^n}=M}\)

Stąd (patrz definicja granicy ciągu) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty}\)

Pomysły z de l'Hospitalem ze względu na zmienną liczbę składników nie są dobre.
Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Sir George »

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić,... tylko, czy robisz dobrze? Bo zamiana ciągu na funkcję ciągłą, tj. "wstawienie" \(\displaystyle{ x}\) za \(\displaystyle{ n}\) nie jest takie hop siup - bo zamiast \(\displaystyle{ n!}\) musisz wstawić funkcję gamma \(\displaystyle{ \Gamma(x+1)}\).
I teraz pytanie: umiesz różniczkować funkcję gamma?

Pozdrawiam :mrgreen:
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski »

Nie łapię zupełnie o co Ci chodzi. Mogę sobie równie dobrze na boku policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}=H=\lim{n\to \infty}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\infty}\), a zatem na mocy granicy, którą właśnie wliczyłem oraz poprzednich przekształceń:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=[e^{\infty}]=\infty}\)
Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\), a więc ten ciąg ma granicę nieskończoności równą granicy tej funkcji.
Odpowiadając na pytanie, może umiałbym zróżniczkować taką funkcję, jeślibym wiedział co to jest za funkcja. Jeśli mój tok myślenia jest niepoprawny lub nieścisły, to proszę o poprawienie
andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom »

No to ile będzie \(\displaystyle{ \ln1+\ln2+\cdots+\ln n}\) dla \(\displaystyle{ n=3\frac12}\)?
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski »

No, ale napisałem, że dziedziną są liczby naturalne, więc nie rozumiem
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: luka52 »

polskimisiek, jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, to jak obliczysz granicę ilorazu różnicowego
andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom »

polskimisiek pisze:Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\),
Inne argument (pokazujący, że nie można tak różniczkować sum, w których liczba składników nie jest stała):

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x^2}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n^2}\)).
\(\displaystyle{ (n^2)'=(n+n+\cdots+n)'=n'+n'+\cdots+n'=1+1+\cdots+1=n}\)
Zatem \(\displaystyle{ (x^2)'=x}\). A co się stało z dwójką?

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n}\)).
\(\displaystyle{ n'=(1+1+\cdots+1)'=1'+1'+\cdots+1'=0+0+\cdots+0=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x'=0}\). Hmm.
ODPOWIEDZ