Zbiór liczb rzeczywistych

[owca]

W książce "Sztuka programowania" Donalda E. Knutha autor napisał że:
Liczba rzeczywista jest wartością, która ma rozwinięcie dziesiętne
\(\displaystyle{ x=n+0.d_1d_2d_3...,}\)
gdzie n jest liczbą całkowitą, każde \(\displaystyle{ d_i}\) jest cyfrą od 0 do 9 oraz ciąg cyfr nie kończy się nieskończenie wieloma dziewiątkami.
Wychodzi więc na to, że liczba 2.(9) nie jest liczbą rzeczywistą. Czy to prawda? Jak ją zatem nazwać?

[Piotr Rutkowski]

To raczej oznacza, że koleś miał chyba niezłe problemy z matmą , bo:
\(\displaystyle{ 2,(9)=3}\) co bardzo łatwo udowodnić

[mms]

Dowód tego że \(\displaystyle{ 2,9=3}\) może zrozumieć nawet uczeń podstawówki, więc na Twoim miejscu nie uczyłbym się z takiego ,,podręcznika".

[micholak]

Hmm alez z tego nie wychodzi ze 2,(9) nie jest rzeczywiste, przecierz 2,(9) czyli 3 to jest 3+0.000000... itd. czyli ma szukane rozwiniecie, w reszte tego stwierdzenia nie bede sie sie wglebial, ale mi to sformulowanie brzmi jakos brzydko...

A to ze wyklucza sie nieskonczona ilosc 9 od pewnego momentu sluzy po prostu uzyskaniu jednoznacznosci

[Piotr Rutkowski]

Raczej nie chodzi tu o żadną jednoznaczność. Powiem więcej, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczba ma na końcu nieskończenie wiele dziewiątek, to nawet musi być wymierna. Dzieje się tak, ponieważ jeśli mamy jakieś (Twoim zapisem) \(\displaystyle{ x=n+d_{1}d_{2}...d_{n}(9)=n+d_{1}d_{2}...d_{n}1}\), a z tego już doskonale widać, że liczba jest wymierna

[Emiel Regis]

W książce "Sztuka programowania" Donalda E. Knutha autor napisał że:
Liczba rzeczywista jest wartością, która ma rozwinięcie dziesiętne
\(\displaystyle{ x=n+0.d_1d_2d_3...,}\)
gdzie n jest liczbą całkowitą, każde \(\displaystyle{ d_i}\) jest cyfrą od 0 do 9 oraz ciąg cyfr nie kończy się nieskończenie wieloma dziewiątkami.
Wychodzi więc na to, że liczba 2.(9) nie jest liczbą rzeczywistą. Czy to prawda? Jak ją zatem nazwać?

\(\displaystyle{ 2.(9)=2+0.999...\\
2.(9)=3+0.000... \\}\)
I liczba ta jak najbardziej jest rzeczywista, nie widzę tutaj nic nadzwyczajnego. Zabieg z dziewiatkami jest po to aby nie dało się jednej liczby zapisać na dwa sposoby.

[micholak]

Ok w skrocie jak jakas liczba ma od pewnego momentu same 9 w rozwinieciu, to ma tez inne rozwiniecie dziesietne i tyle. Czyli przedstawienie w postaci takiego rozwiniecia jest niejednoznaczne

[Emiel Regis]

Chociaz idąc tym tropem to można się faktycznie doczepić ale na pewno nie do liczb rzeczywistych a wlasnie do jednoznacznosci.
Bo przecież każda liczba o rozwinieciu dziesietnym okresowym jest wymierna... czyli dla wszystkich tych liczb byłaby niejednoznacznosc...

[Undre]

To raczej oznacza, że koleś miał chyba niezłe problemy z matmą

Wątpliwe, Donald E. Knuth to raczej mocny mózg i nie sądzę, żeby miał jakiekolwiek problemy z matmą będąc choćby głównym autorem "Matematyki Konkretnej".
Wspomnianego wyżej dzieła nie miałem przyjemności czytać, jednak chętnie bym zobaczył cały ten fragment o liczbach rzeczywistych.
Poza tym warto nadmienić, że uczenie się matmy z książki o sztuce programowania to jak pójście na studia polonistyczne w celu poznania historii ojczyzny.
Informatyka nastawiona jest na pojmowanie liczb z punktu widzenia maszyny - a dla maszyny nie istnieje coś takiego jak rozwinięcie nieskończone, bo każdy sprzęt ma ograniczoną pamięć. Jeżeli nie bardzo obrazowym jest to, co właśnie napisałem, to pomyśl jak komputer i spróbuj zapisać dokładnie to twoje 2.(9) na papierze ołówkiem nie stosując umownego zapisu nawiasowego. Sam symbol 2.(9) to już pewna dawka abstrakcji nieprawdaż ?