Udowadnianie granicy ciągu - problem.

[Molas.]

Witam.

Mam pewien ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt[n]{n}}\) i mam wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n}=1}\)

Dowód wygląda następująco: wprowadzamy sobie dodatkowy ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) taki, że \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n}-1}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}=b_{n}+1}\). I wówczas po podniesieniu obu stron do potęgi n: mamy, że \(\displaystyle{ n=(1+b_{n})^{n}}\). Prawą strone równania możemy dalej rozpisać ze wzrowu Newtona, co daje nam: \(\displaystyle{ n=(1+b_{n})^{n}=1+nb_{n}+ \frac{n(n-1)}{2} (b_{n})^{2} + \ldots + (b_{n})^{n}}\).


Dalej w dowodzie pojawia się coś takiego: \(\displaystyle{ n>1+ \frac{n(n-1)}{2} (b_{n})^{2}}\) - i właśnie tego nie rozumiem, bo dlaczego opuściliśmy pewne wyrazy po prawej stronie nierówności i dlaczego zostawiliśmy tylko pierwszy i trzeci wyraz?

[mol_ksiazkowy]

Molas napisaŁŁ

Dalej w dowodzie pojawia się coś takiego: \(\displaystyle{ n>1+ \frac{n(n-1)}{2} (b_{n})^{2}}\) - i właśnie tego nie rozumiem, bo dlaczego opuściliśmy pewne wyrazy po prawej stronie nierówności i dlaczego zostawiliśmy tylko pierwszy i trzeci wyraz?

opuscilismy sobie wyrazy dodatnie i otrzymalismy wiec liczbe mniejsza
co lepiej zobaczysz, gdy zapisze sie to tak oto:arrow:
w tzm roywinieciu mamz wsyzstkie skladniki dodatnie
\(\displaystyle{ n-(1+ \frac{n(n-1)}{2} (b_{n})^{2})= nb_n+ .....>0}\).

[Molas.]

Hm nadal nie rozumiem, dlaczego zostawilismy wyrazy pierwszy i trzeci, a nie np. trzeci i piąty - bo ma to chyba jakieś znaczenie?

[mol_ksiazkowy]

Molas napisal

Hm nadal nie rozumiem, dlaczego zostawilismy wyrazy pierwszy i trzeci, a nie np. trzeci i piąty - bo ma to chyba jakieś znaczenie?

To juz zapewne wynika z dalszej czesci dowodu...
wszak chcemy pokazac iz bn dazy do zera...
i to zapewne taki powod

[Piotr Rutkowski]

Na marginesie, ten dowód wygląda skomplikowanie. IMHO dużo łatwiej jest obliczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to }n^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to }e^{\frac{lnn}{n}}=e^{ \lim_{n\to } \frac{lnn}{n}}}\)
Obliczmy teraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{lnn}{n}=H=\lim_{n\to }\frac{\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to }\frac{1}{n}=0}\), a więc ostatecznie \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{n}=e^{0}=1}\)

[Lorek]

Z tym że Hospital w ciągu to niebardzo...

[Piotr Rutkowski]

No, ale skoro badam funkcję w liczbach rzeczywistych oraz badam granicę w nieskończoności to granica ciągu będzie oczywiście równa granicy takiej funkcji