Problem z listami - kto ma racje?

[Owsiak]

Witam!
Na dzisiejszej lekcji matematyki robilismy takie oto zadanie:

Do 3 kopert wkladamy na chybil trafil 3 listy. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze zaden list nie trafi do swojej koperty?

No i teraz tak. Nie jest napisane, ze nie mozna wlozyc kilku listow do jednej koperty, wiec zakladam, ze taka sytuacja moze miec miejsce. Skoro tak, to kazde zdarzenie elementarne bedzie ciagiem: \(\displaystyle{ \omega=(k_{1},k_{2},k_{3}), k \{1,2,3\}}\)
Wobec tego: \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=\overline{V}^{3}_{3}=27}\)
Teraz oblicze prawdopodobienstwo zdarzenia przeciwnego, czyli, ze co najmniej jeden list trafi do swojej koperty. Bedzie to suma 3 zdarzen (A - pierwszy list trafi do swojej koperty, B - drugi list trafi do swojej koperty, C - trzeci list trafi do swojej koperty):
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\\P(A)=P(B)=P(C)=\frac{\overline{V}^{2}_{3}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{9}{27}\\P(A \cap B)=P(A \cap C)=P(B \cap C)=\frac{\overline{V}^{1}_{3}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{3}{27}\\P(A \cap B \cap C)=\frac{1}{27}\\P(A \cup B \cup C)=\frac{3*9-3*3+1}{27}=\frac{19}{27}}\)

Czyli prawdopodobienstwo, ze zaden list nie trafi do swojej koperty, co jest zdarzeniem przeciwnym, do tego co wyliczylem wyzej wynosi \(\displaystyle{ 1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}}\)
I to jest moje rozwiazanie.

Natomiast Pani od matematyki moc zbioru zdarzen elementarnych tez wyznaczyla wariacja z powtorzeniami, ale stwierdzila, ze prawdopodobienstwo, ze zaden list nie trafi do swojej koperty wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{27}}\) i nie mam zielonego pojecia skad jej sie to wzielo, bo nawet nie rozpisala tego wzorami.

Kto ma racje? Ja, czy Pani?

[g-dreamer]

Ty masz rację, klasa może zlińczować nauczycielkę.
\(\displaystyle{ ({2\over3})^3={8\over27}}\)

[Owsiak]

Na pewno?

[g-dreamer]

A co, wymiękasz?

[Owsiak]

Jeszcze nie, ale jesli sie okaze, ze nie mam racji, to caly moj tok rozumowania bedzie musial ulec rewaloryzacji :/

[kadykianus]

Założenie, ze do jednej kopert można włożyć więcej niz 1 list jest naciągane. Zrezygnuj z niego i oblicz jeszcze raz.

[Owsiak]

Hm... No to wtedy bedzie
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=P_3=3!=6\\\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}=\overline{\overline{C}}=P_2=2\\P(A \cup B \cup C)=\frac{3*2-3*1+1}{6}=\frac{2}{3}\\P((A \cup B \cup C)')=\frac{1}{3}}\)
Czy tak?