granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z daleka
- Podziękował: 1 raz
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Znajdź granicę ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ a_n=(n!)^{1/n}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Udowodnimy, że ciąg ten jest rozbieżny do nieskończoności:
\(\displaystyle{ n!^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}{n}}=e^{\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}}=H=e^{\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1}}=e^{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}} \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ n!^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}{n}}=e^{\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}}=H=e^{\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1}}=e^{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}} \rightarrow \infty}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z daleka
- Podziękował: 1 raz
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
nie rozumiem pierwszego znaku równości, nie wiem co to H, nie wiem czemu to ostatnie rośnie nieograniczenie
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Pierwszy znak rownosci:
\(\displaystyle{ x=e^{\ln (x)}\ x>0\\}\)
To ze zwyklych logarytmow (tutaj masz podstawe e tylko).
Co do H - twierdzenie delopitala - poczytaj na np wikipedii. POZDRO
\(\displaystyle{ x=e^{\ln (x)}\ x>0\\}\)
To ze zwyklych logarytmow (tutaj masz podstawe e tylko).
Co do H - twierdzenie delopitala - poczytaj na np wikipedii. POZDRO
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
\(\displaystyle{ n!=e^{\ln (n!)}=e^{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}}\)
H oznacza regułę de l'Hospitala
liczymy wtedy pochodną licznika i mianownika (tutaj ograniczamy się w regule de l'Hospitala do wykładnika liczby e)
Ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) jest ciągiem harmonicznym rzędu pierwszego i jako taki jest rozbieżny do nieskończoności
H oznacza regułę de l'Hospitala
liczymy wtedy pochodną licznika i mianownika (tutaj ograniczamy się w regule de l'Hospitala do wykładnika liczby e)
Ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) jest ciągiem harmonicznym rzędu pierwszego i jako taki jest rozbieżny do nieskończoności
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z daleka
- Podziękował: 1 raz
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
nie da sie tego zrobić tego nie używając tej reguły? nie znam jej jeszcze... Spróbuję zrozumieć, ale nie mogę przedstawić takiego rozwiązania... Wystarczy wskazówka.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to \infty} f(x)}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Ustalmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ M}\). Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\geqslant 2M+\log_2M^{2M}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\geqslant\sqrt[n]{(2M+1)(2M+2)(2M+3)\cdots n}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{(2M)^{n-2M}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{n-2M}}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{\log_2M^{2M}}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}M^{2M}}
=\sqrt[n]{M^n}=M}\)
Stąd (patrz definicja granicy ciągu) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty}\)
Pomysły z de l'Hospitalem ze względu na zmienną liczbę składników nie są dobre.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\geqslant\sqrt[n]{(2M+1)(2M+2)(2M+3)\cdots n}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{(2M)^{n-2M}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{n-2M}}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{\log_2M^{2M}}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}M^{2M}}
=\sqrt[n]{M^n}=M}\)
Stąd (patrz definicja granicy ciągu) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty}\)
Pomysły z de l'Hospitalem ze względu na zmienną liczbę składników nie są dobre.
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić,... tylko, czy robisz dobrze? Bo zamiana ciągu na funkcję ciągłą, tj. "wstawienie" \(\displaystyle{ x}\) za \(\displaystyle{ n}\) nie jest takie hop siup - bo zamiast \(\displaystyle{ n!}\) musisz wstawić funkcję gamma \(\displaystyle{ \Gamma(x+1)}\).
I teraz pytanie: umiesz różniczkować funkcję gamma?
Pozdrawiam
I teraz pytanie: umiesz różniczkować funkcję gamma?
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Nie łapię zupełnie o co Ci chodzi. Mogę sobie równie dobrze na boku policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}=H=\lim{n\to \infty}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\infty}\), a zatem na mocy granicy, którą właśnie wliczyłem oraz poprzednich przekształceń:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=[e^{\infty}]=\infty}\)
Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\), a więc ten ciąg ma granicę nieskończoności równą granicy tej funkcji.
Odpowiadając na pytanie, może umiałbym zróżniczkować taką funkcję, jeślibym wiedział co to jest za funkcja. Jeśli mój tok myślenia jest niepoprawny lub nieścisły, to proszę o poprawienie
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}=H=\lim{n\to \infty}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\infty}\), a zatem na mocy granicy, którą właśnie wliczyłem oraz poprzednich przekształceń:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=[e^{\infty}]=\infty}\)
Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\), a więc ten ciąg ma granicę nieskończoności równą granicy tej funkcji.
Odpowiadając na pytanie, może umiałbym zróżniczkować taką funkcję, jeślibym wiedział co to jest za funkcja. Jeśli mój tok myślenia jest niepoprawny lub nieścisły, to proszę o poprawienie
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
No to ile będzie \(\displaystyle{ \ln1+\ln2+\cdots+\ln n}\) dla \(\displaystyle{ n=3\frac12}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
No, ale napisałem, że dziedziną są liczby naturalne, więc nie rozumiem
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
polskimisiek, jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, to jak obliczysz granicę ilorazu różnicowego
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni
Inne argument (pokazujący, że nie można tak różniczkować sum, w których liczba składników nie jest stała):polskimisiek pisze:Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\),
Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x^2}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n^2}\)).
\(\displaystyle{ (n^2)'=(n+n+\cdots+n)'=n'+n'+\cdots+n'=1+1+\cdots+1=n}\)
Zatem \(\displaystyle{ (x^2)'=x}\). A co się stało z dwójką?
Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n}\)).
\(\displaystyle{ n'=(1+1+\cdots+1)'=1'+1'+\cdots+1'=0+0+\cdots+0=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x'=0}\). Hmm.