[Nierówności] Ładna nierówność
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 385
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 26 razy
[Nierówności] Ładna nierówność
ja to myśle tak skoro p nalezy do takiego przedziału to możemy zapisać ze p=l/k
l-nalezy do naturalnycj i k-nalezy do naturalnych prócz zera
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{a^{l}}}\)
i tak samo z b
czyli wystarczy wykazać ze suma pod pierwiastkiem jest mniejsza od sumy dwóch pierwiastków
l-nalezy do naturalnycj i k-nalezy do naturalnych prócz zera
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{a^{l}}}\)
i tak samo z b
czyli wystarczy wykazać ze suma pod pierwiastkiem jest mniejsza od sumy dwóch pierwiastków
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11405
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[Nierówności] Ładna nierówność
nop , Funkcja \(\displaystyle{ y= x^{r}}\), na dziedzinie R+, jest , gdy \(\displaystyle{ r 0, ..f(0)=0, i \(\displaystyle{ f^\prime(a)=p((a+b)^{p-1} -a^{p-1}) q 0}\), tj \(\displaystyle{ f q 0}\) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
[Nierówności] Ładna nierówność
No to jeszcze inny sposób (bez liczenia pochodnych):
Ponieważ \(\displaystyle{ x\mapsto x^{p-1}}\) jest dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\) funkcją malejącą, więc
\(\displaystyle{ (a+p)^p=(a+b)\cdot(a+b)^{p-1}=
a\cdot(a+b)^{p-1}+b\cdot(a+b)^{p-1}\leqslant\\
qslant a\cdot a^{p-1}+b\cdot b^{p-1}=a^p+b^p}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\mapsto x^{p-1}}\) jest dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\) funkcją malejącą, więc
\(\displaystyle{ (a+p)^p=(a+b)\cdot(a+b)^{p-1}=
a\cdot(a+b)^{p-1}+b\cdot(a+b)^{p-1}\leqslant\\
qslant a\cdot a^{p-1}+b\cdot b^{p-1}=a^p+b^p}\)