proszę o rozwiązanie krok po kroku...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) \(\displaystyle{ \frac{2n^4+3n^2}{8n^5+7n+1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) (\(\displaystyle{ \sqrt {n^2+3}}\) -\(\displaystyle{ \sqrt {n^2-1}}\))
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt {n^2+3}-n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) \(\displaystyle{ \frac{cosn}{n^3 + 2n +1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n^5}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }}\) \(\displaystyle{ \frac{6^{2n+1} -3}{6^n +2}}\)
wyznacz granice funkcji
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wyznacz granice funkcji
Chyba w granicy powinno być n a nie x
1. Dzielę licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{2n^4+3n^2}{8n^5+7n+1}=
\lim_{n \to } \frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^3}}{8+\frac{7}{n^4}+\frac{1}{n^5}}=
\frac{0+0}{8+0+0}=0}\)
2. Usuwam pierwiastek:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (\sqrt {n^2+3} - \sqrt {n^2-1})=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2-1})}{(\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2-1})}=\\=
\lim_{n \to } \frac{n^2+3-n^2+1}{(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2-1})}=
\lim_{n \to } \frac{4}{(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2-1})}=
\frac{4}{\infty+\infty}=0}\)
3. Usuwam pierwiastek:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{1}{\sqrt {n^2+3}-n}=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{(\sqrt {n^2+3}-n)(\sqrt {n^2+3}+n)}=\\=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{n^2+3-n^2}=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{3}=
\frac{\infty+\infty}{3}=\infty}\)
4. Funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału , zatem zachodzi:
\(\displaystyle{ -\lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}
\lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1}
\lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}}\)
Granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}=\frac{1}{\infty+\infty+1}=0}\)
Zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ 0 \lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1} 0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1} = 0}\)
5. Przekształcam:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{6^{2n+1} -3}{6^n +2}=
\lim_{n \to } \frac{6 6^{2n} -3}{6^n +2}=
\lim_{n \to } \frac{6^{-n}(6 6^{2n} -3)}{6^{-n}(6^n +2)}=\\=
\lim_{n \to } \frac{6 6^n -3\cdot6^{-n}}{1+2\cdot6^{-n}}=
\frac{\infty-0}{1+0}=\infty}\)
1. Dzielę licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{2n^4+3n^2}{8n^5+7n+1}=
\lim_{n \to } \frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^3}}{8+\frac{7}{n^4}+\frac{1}{n^5}}=
\frac{0+0}{8+0+0}=0}\)
2. Usuwam pierwiastek:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (\sqrt {n^2+3} - \sqrt {n^2-1})=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2-1})}{(\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2-1})}=\\=
\lim_{n \to } \frac{n^2+3-n^2+1}{(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2-1})}=
\lim_{n \to } \frac{4}{(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2-1})}=
\frac{4}{\infty+\infty}=0}\)
3. Usuwam pierwiastek:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{1}{\sqrt {n^2+3}-n}=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{(\sqrt {n^2+3}-n)(\sqrt {n^2+3}+n)}=\\=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{n^2+3-n^2}=
\lim_{n \to } \frac{(\sqrt {n^2+3}+n)}{3}=
\frac{\infty+\infty}{3}=\infty}\)
4. Funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału , zatem zachodzi:
\(\displaystyle{ -\lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}
\lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1}
\lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}}\)
Granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{1}{n^3+2n+1}=\frac{1}{\infty+\infty+1}=0}\)
Zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ 0 \lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1} 0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{\cos n}{n^3+2n+1} = 0}\)
5. Przekształcam:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{6^{2n+1} -3}{6^n +2}=
\lim_{n \to } \frac{6 6^{2n} -3}{6^n +2}=
\lim_{n \to } \frac{6^{-n}(6 6^{2n} -3)}{6^{-n}(6^n +2)}=\\=
\lim_{n \to } \frac{6 6^n -3\cdot6^{-n}}{1+2\cdot6^{-n}}=
\frac{\infty-0}{1+0}=\infty}\)