wektor - bazy wspolrzedne

[kijek]

Znalezc (jesli istnieje) taki wektor \(\displaystyle{ \lambda R^3}\), ze uklad \(\displaystyle{ (1, 0, 1), (2, 1, 0),\lambda}\)
jest baza przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) i wektor \(\displaystyle{ (7, 3, 5)}\) ma w tej bazie wspolrzedne \(\displaystyle{ 3, 1, 2}\).

[kuch2r]

Zalozmy, ze wektory \(\displaystyle{ (1,0,1),(2,1,0),\lambda}\), tworza baze w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\). Ponadto \(\displaystyle{ \lambda=(x,y,z)}\).
Jezeli zatem wektory tworza baze w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) to wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorow jest rozny od zera.
Czyli:
\(\displaystyle{ \det{\left[ \begin{array}{ccc}1&0&1\\2&1&0\\x&y&z\end{array}\right]}\neq 0}\)
Stad:
\(\displaystyle{ -x+2y+z\neq 0}\)
Dalej mamy, wektor \(\displaystyle{ (7,3,5)}\) ma w tej bazie wpolrzedne \(\displaystyle{ 3,1,2}\).
Wowczas jest liniowa kombinacja wektorow bazowych:
\(\displaystyle{ 3(1,0,1)+1(2,1,0)+2(x,y,z)=(7,3,5)}\)
Otrzymujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5+2x=7\\1+2y=3\\3+2z=5\end{cases}}\)
Rozwiazaniem powyzszego ukladu rownan jest trojka \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)
Sprawdzajac warunek o niezerowaniu sie wyznacznika macierza otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ 2\neq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lambda=(1,1,1)}\) jest wektorem bazowym