Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

[dra_gon]

Witam
Prosiłabym kogoś o jak najszybsze rozwiązanie mi tego zadania z jednoczesnym udowodnieniem go ...

Które z podanych niżej ułamków przedstawiają liczby naturalne:
1) \(\displaystyle{ \frac{10^{354}+8}{9}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{10^{101}+9}{9}}\)
3) \(\displaystyle{ \frac{10^{454}-1}{9}}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{10^{111}+5}{6}}\)
5) \(\displaystyle{ \frac{10^{321}+2}{6}}\)
6) \(\displaystyle{ \frac{10^{123}-4}{6}}\)
7) \(\displaystyle{ \frac{6^{123}+44}{10}}\)
8) \(\displaystyle{ \frac{9^{140}-1}{10}}\)

[Lady Tilly]

Zmień temat, bo.... post wyląduje w koszu.

[g-dreamer]

\(\displaystyle{ 10^{354}+8\equiv_9 0\\
10^{354}\equiv_9 1\\
10^2\equiv_9 1\\
10^{32}\equiv_9 1\ itd.\\
354=256+64+32+2\\

10^{354}\equiv_9 1\\}\)
Czyli nie dzieli się przez 9.

[dra_gon]

A można to nieco łątwiej i bardziej zrozumiale napisać o co tutaj chodzi?

Będę Wdzięczna:)

[Piotr Rutkowski]

gdreamer, sprawdź swoje wnioski, pierwsze wyrażenie dzieli sie przez 9
gdreamer użył kongruencji
żeby to łatwiej wyjasnić:
wyobraź sobie zapis pierwszej liczby, będzie to \(\displaystyle{ 1000...00008}\) suma cyfr jest równa 9, a więc całe wyrażenie jest podzielne przez 9 Podobne rozważania (nawet bez użycia kongruencji) poprzeprowadzaj sobie dla pozostałych przykładów:
Odpowiedzi:
1) 3) 5) 6) 7) 8)

[g-dreamer]

Haha, dobre:
\(\displaystyle{ 10^{354} \equiv_9 1\\
10^{354}+8\equiv_9 9\equiv_9 0}\)
Dzięki.