Równanie rekurencyjne.

[KARQL]

Witam.

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu w moim rozumowaniu przy rozwiązywaniu poniższego zadania.

Zadanie:

Pożyczka: 10000 zł.
Okres spłaty: 6 lat.
Oprocentowanie: 10%.

Obliczyć wysokość rocznych rat, tak aby były takie same.

Zamiast liczb podstawimy zmienne;
s - pożyczka,
p - oprocentowanie,
z - rata.

Z powyższych własności otrzymamy funkcje rekurencyjną:
\(\displaystyle{ f(n) = \begin{cases} s,\ dla\ n = 0\\p * a_{n-1} - z,\ dla\ n>0\end{cases}}\)

Z tego liczymy równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r = p}\)

Otrzymujemy równanie liniowe:
\(\displaystyle{ a_{n} = c_{1} * p^{n} + c_{2} * n * p^{n} = p^{n}(c_{1} * nc_{2})}\)

Z danych w zdaniu wnioskujemy:
\(\displaystyle{ a_{0} = 10000\\
a_{6} = 0}\)

Teraz możemy wyliczyć stałe w równaniu liniowym:
\(\displaystyle{ c_{1} = 10000\\
c_{2} = -\frac{5000} {3}}\)

Teraz z równania liniowego policzymy:
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{27500} {3}}\)

Teraz a1 podstawimy do równania rekurencyjnego i obliczymy z:
\(\displaystyle{ z = \frac {5500} {3}}\)

No i niby to byłby koniec zadania. Jednak ta rata nie wychodzi dobrze, bo jak idziemy rekurencyjnie to:
\(\displaystyle{ a_{6} \not= 0}\)

Za wszelką pomoc z góry dziękuję.

Pozdrawiam.

[jovante]

Ja widzę trzy błędy:
1) złe równanie rekurencyjne
2) złe założenie
3) złe przekształcenie

1. Powinno być:

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} s,\ dla\ n = 0\\(1+p)\cdot a_{n-1} - z,\ dla\ n>0\end{cases}}\)

2. Powinno być:

\(\displaystyle{ a_5=0}\)

3.

\(\displaystyle{ a_{n} = c_{1} * p^{n} + c_{2} * n * p^{n} = p^{n}(c_{1} * nc_{2})}\)

Dla danych ogólnych:

s - pożyczka
p - oprocentowanie
z - rata
k - okres spłaty

mamy:

\(\displaystyle{ z=\frac{ps(1+p)^k}{(1+p)^k-1}}\)

\(\displaystyle{ a_n=s\frac{(1+p)^k-(1+p)^n}{(1+p)^k-1}}\)

[KARQL]

1) złe równanie rekurencyjne

Równanie rekurencyjne mam dobre bo jako p wziąłem: \(\displaystyle{ \frac {110} {100}}\) Nie pisałem szczegółowych obliczeń to może tego nie widać na pierwszy rzut oka.

2. Powinno być:

Wydaje mi sie że: \(\displaystyle{ a_{6} = 0}\) a1 po pierwszym roku, an po n latach. Zresztą to i tak nie ma znaczenia bo tylko się wysokość raty zmieni.

Twój wzór też mi się coś nie sprawdza, poza tym nie wiem skąd to wziąłeś. Pewnie w matematyce finansowej są wzory do tego typu rzeczy, ale ja to miałem policzyć właśnie z wykorzystaniem równania rekurencyjnego.

[jovante]

Ad.1

Wg Twoich oznaczeń masz jednak zły wzór, bo najpierw piszesz, że oprocentowanie wynosi 10%, a później oznaczasz oprocentowanie jako p, więc jeżeli później za p bierzesz 110%, to przeczysz założeniu.

Ad.2

Masz rację.

Ad.3

Wzór jest OK. Wystarczy rozwinąć funkcję tworzącą w szereg i odczytać wartość współczynnika przy \(\displaystyle{ a_n}\). Przy okazji korzystając z założenia liczysz wysokość raty.