Współczynniki wielomianu

[G1T]

Wielomian W(X)= a\(\displaystyle{ x^{3}}\) + b\(\displaystyle{ x^{2}}\) + cx + d ma pierwiasti -1, 2, 3. Wyznacz a,b i c.

[ariadna]

Wystarczy rozwiązać układ trzech równań, gdzie d uznajemy za parametr:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=0\\W(2)=0\\W(3)=0\end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b-c+d=0\\8a+4b+2c+d=0\\27a+9b+3c+d=0\end{cases}}\)

[G1T]

no tak, do tego to i ja doszedłem, a co dalej?

[ariadna]

To trzeba było napisać, że to już masz;)

Z pierwszego:
\(\displaystyle{ a=d+b-c}\)
Wstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ c=2b+1,5d}\)
Upraszczamy a:
\(\displaystyle{ a=-0,5d-b}\)

I wstawiamy do trzeciego:
\(\displaystyle{ -13,5d-27b+9b+6b+4,5d+d=0}\)
\(\displaystyle{ -12b=8d}\)
\(\displaystyle{ b=-\frac{2}{3}d}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{6}d}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{1}{6}d}\)

[G1T]

tak, ale jeżeli teraz to wszystko podstawię do pierwszego to wychodzi równanie tożsamościowe d=d.

[ariadna]

Nie ma możliwości wyznaczenie dokładnie współczynników a, b, c bo mamy tylko 3 równania a aż 4 niewiadome. Dlatego jako parametr wybieramy d.

Załóż sobie dla sprawdzenia np.:
\(\displaystyle{ d=6}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ a=c=1}\)
\(\displaystyle{ b=-4}\)
I sprawdź jakie będą pierwiastki.