elementy odwrotne w pierścieniu z 1 ideałem właściwym

[BraveMaind]

W pewnym pierścieniu są dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) ideały w tym jeden właściwy. Dowieść, że każdy element należący do tego pierścienia, ale nie zawarty w tym ideale właściwym jest odwracalny.

Mój tok rozumowania:
\(\displaystyle{ P}\) - pierścień, \(\displaystyle{ a}\) element nie należący do ideału \(\displaystyle{ I}\).
\(\displaystyle{ I}\) jest ideałem maksymalnym więc zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ P/I}\) jest ciałem . Wynika stąd, że istnieje taki element \(\displaystyle{ b P}\) że \(\displaystyle{ (a+I)(b+I) = 1+I}\) , \(\displaystyle{ ab+I = 1+ I}\)
czyli otrzymujemy że \(\displaystyle{ ab-1\in I}\) jak pokazać że \(\displaystyle{ ab=1}\) ?? czy tak jest wogóle ?? Bo przecież to \(\displaystyle{ b}\) któro jest ze zbioru ilorazowego nie musi być w \(\displaystyle{ P}\).. Jak to dalej pociągnąć??

[arek1357]

Zauważ że przekształcenie np f
f: a+I -> a jest izomorfizmem
PI oraz P-I , oczywiście ze względu na mnożenie zbiory są równoliczne
a skoro PI jest ciałem to jest grupą ze względu ma mnożenie ( ma element odwrotny)
a więc P-I dziedziczy po nim wszystko czyli również i elementy
odwrotne czyli każdy element ma element odwrotny w P-I
cnd...
f[(a+I)(b+I)]=f(ab+I)=ab=f(a+I)f(b+I).

[BraveMaind]

dziękuje bardzo

[arek1357]

No i widac że są jeszcze na forum ludzie kulturalni