muszę wykazać że \(\displaystyle{ \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geqslant a+b+c}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich.
Proszę chociaż o nakierowanie
udowodnić nierówność
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geqslant a+b+c}\) dzielimy stronami przez\(\displaystyle{ \frac{abc}{2}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\geqslant \frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc} \iff \frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ac}+\frac{1}{c^2}
+\frac{1}{b^2}-\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}\geqslant 0 \iff
(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})^2
+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2\geqslant 0}\)
czyli nierówność jest prawdziwa
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\geqslant \frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc} \iff \frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ac}+\frac{1}{c^2}
+\frac{1}{b^2}-\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}\geqslant 0 \iff
(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})^2
+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2\geqslant 0}\)
czyli nierówność jest prawdziwa
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
udowodnić nierówność
Oczywiście prawdziwe są nierówności:
\(\displaystyle{ c^2(a-b)^2\geqslant0\\
a^2(b-c)^2\geqslant0\\
b^2(c-a)^2\geqslant0}\)
Po dodaniu ich stronami, podzieleniu obu stron przez 2abc i przekształceniu (poprzenoszeniu odpowiednich rzeczy na odpowiednie strony) dostajemy to, co chcemy.
\(\displaystyle{ c^2(a-b)^2\geqslant0\\
a^2(b-c)^2\geqslant0\\
b^2(c-a)^2\geqslant0}\)
Po dodaniu ich stronami, podzieleniu obu stron przez 2abc i przekształceniu (poprzenoszeniu odpowiednich rzeczy na odpowiednie strony) dostajemy to, co chcemy.