Witajcie,
podejmuje się zdania matury rozszerzonej m.in z matematyki. Aktualnie jestem w "czasie powtarzania materiału". Zatrzymałem się teraz na działaniach na potęgach (ułamkowe), wzorach skróconego mnożenia (i ich zastosowanie), działaniach z pierwiastkami, działaniach na przedziałach liczbowych oraz wartości bezwzględnej.
Przerabiam materiał z tak zwanej "Kiełbasy". Natknąłem się na zadania, z którymi mam problem. Brak mi pomysłów...
Zadanie 1:
"Liczby naturalne a i b spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{b}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\). Wykaż, że iloczyn liczb a i b jest liczbą podzielną przez 7"
Zadanie 2:
"Wykaż, że kwadrat liczby postaci \(\displaystyle{ 2n + 1}\) zmniejszony o 1 jest liczbą podzielną przez 8."
Zadanie 3:
"Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą podzielną przez 8."
Hmm, nie bardzo do tego działu się te zadanka nadają - raczej do działu "Przekształcenia algebraiczne". Poza tym między tagi [tex.] i [/tex.] bierz całe wyrażenia.
Zadanie 1. \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} \\ \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{7} \\ \frac{ab}{a+b}=7 \\ ab=7(a+b)}\)
Czyli a*b jest podzielne przez 7
Zadanie 2. \(\displaystyle{ (2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1)}\)
n(n+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, czyli jest podzielny przez co najmniej 2. więc możemy zapisać n(n+1)=2k, czyli: \(\displaystyle{ (2n+1)^2-1= \ldots = 4 2k=8k}\)
Zadanie 3. \(\displaystyle{ (2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1)=8n}\)
Zadanie 4.
Zauważ, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \\ = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)
Czyli nasza suma przedstawia się po uproszczeniu jako: \(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9}\)
