żS-4, od: robin5hood, zadanie 4

[Liga]

Wzór dwumianowy Newtona, z którego tu musimy skorzystać ma następującą
postać:

\(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum\limits_{i=0}^{n} {n\choose i} a^{n-i} b^{i}}\)
Policzmy najpierw współczynniki pierwszego (1), drugiego (2) i trzeciego (3)
wyrazu rozwinięcia dwumianu.

(1) \(\displaystyle{ {m \choose 0}=1}\)
(2) \(\displaystyle{ {m \choose 1}=m}\)
(3)\(\displaystyle{ {m \choose 2}=\frac{(m-1)m}{2}}\)

Wiemy zatem, że następujące współczynniki tworzą sumę równą 22, więc
\(\displaystyle{ 22=1+m+\frac{(m-1)m}{2}}\)
Po pewnych przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ m^2+m-42=}\)
Jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ m_1=-7}\) lub \(\displaystyle{ m_2=6}\)
Pierwszą możliwość odrzucamy, bo m musi być liczbą naturalna.
Trzeci i piąty wyraz rozwinęcia mają odpowiednio nastemującą postać:
\(\displaystyle{ {m \choose 2} a^{m-2} b^{2}}\)
\(\displaystyle{ {m \choose 4} a^{m-4} b^{4}}\)
Z tresci zadania mamy, że te wyrazy tworza sumę równą 135
więc
\(\displaystyle{ 15a^4b^2+15a^2b^4=135}\)
\(\displaystyle{ a^4b^2+a^2b^4=9}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=\sqrt{2^x}}\) \(\displaystyle{ b=\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}}\)
Podstawiamy za a i b i otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ 2^{x+1}+2^{-x+2}=9}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ t=2^x}\), t>0.
Otrzumujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 2t^2-9t+4=0}\) o pierwiastkach \(\displaystyle{ t_1=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ t_2=4}\)
Mozemy już wyliczyć x, więc
\(\displaystyle{ 2^x=4}\) lub \(\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\)

[mol_ksiazkowy]

coż , błedow nie widac, czyli max, pkt

[scyth]

no to 5