Obliczyc granicę

[luska]

oblicz:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0 } ((x+e^{2x})^{{1 \over x}})}\)

[jarekp]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0 } ((x+e^{2x})^{{1 \over x}})= \lim_{x\to\ 0 } (1+{x \over e^{2x}})^{{1 \over x}}(e^{2x})^{1 \over x}= \lim_{x\to\ 0 } (1+\frac {1}{({e^{2x} \over x })})^{{e^{2x} \over x}({1 \over e^{2x}})}(e^{2})=\lim_{x\to\ 0 } {e^{{1 \over e^{0}}}e^2=e^{3}}\)

[luska]

dziekuję

a czy umiałby ktos zrobic tez taki przykład :

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (x^{{1 \over x}})}\)

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ x^{\frac{1}{x}}=(e^{lnx})^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{lnx}{x}} e^{0}=1}\)

[luska]

a czy da się jakos przekształcić obie te funkcje, żeby skorzystas z reguły de l'Hospitala ?

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{lnx}{x}=H=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=0}\)

[luska]

aha, no tak

a czy wiesz może, jak ten pierwszy przykład z l'Hospitala rozwiazac ?

[Piotr Rutkowski]

Można, nawet wyszedł mi inny wynik niż zaprezentował jarekp:
\(\displaystyle{ (x+e^{2x})^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{ln(x+e^{2x})}{x}}}\)
policzymy teraz granicę wykładnika
\(\displaystyle{ \frac{ln(x+e^{2x})}{x}=H=\frac{1}{x+e^{2x}}*(e^{2x}+x)'=\frac{1+2*(e^{x})*e^{x}}{x+e^{2x}}=\frac{2e^{2x}+1}{x+e^{2x}} 2}\) czyli nasza granica wynosi ostatecznie \(\displaystyle{ e^{2}}\)

[soku11]

polskimisiek, wedlug mnie nie mozna tutaj za bardzo korzystac z tego, ze:
\(\displaystyle{ x^x=e^{x\cdot lnx}}\)
ze wzgledu na dziedzine. A co do innego wyniku to:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x}+1}{x+e^{2x}} = \frac{2+1}{0+1}=3}\)

POZDRO

[Piotr Rutkowski]

Hehe, racja, okazuje się, że nie umiem dodawać
Nie za bardzo jednak rozumiem dlaczego tutaj sobie nie mogę zamienić na funkcję potęgową e, przecież:
\(\displaystyle{ x+e^{2x}=e^{ln(x+e^{2x})}}\) a teraz po prostu podnosze do potęgi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) i nie zmienia mi to dziedziny.

[soku11]

Chodzi mi bardziej o to, ze dziedzina dla lnx sa x>0. W tym przypadku mamy \(\displaystyle{ ln(x+e^{2x})}\). I na poczatku dziedzina jest wszystko oprocz 0, a po zastosowaniu tego wzoru sie to troche zmienia :/ To sa tylko takie moje spostrzezenia, ktore nie wiem czy sa 100% sluszne. POZDRO