Wykaż ,że gdy P(A)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ,P(B)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \leqslant}\) P(A \(\displaystyle{ \cup}\) B) \(\displaystyle{ \leqslant}\)\(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) oraz 0\(\displaystyle{ \leqslant}\) P(A \(\displaystyle{ \cap}\) B) \(\displaystyle{ \leqslant}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
prosze o dokladne wtlumaczenie bo wogole nie czje tych dowodow ;/
z gory dziekuje i bede nagradzac +
Wykaż, znając P(A) i P(B).
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wykaż, znając P(A) i P(B).
Oczywiście \(\displaystyle{ P(A\cup B)\geqslant P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A\cup B)\geqslant P(B)}\), zatem \(\displaystyle{ P(A\cup B)\geqslant\frac12}\).
Ponadto \(\displaystyle{ P(A\cup B)\leqslant P(A)+P(B)=\frac12+\frac13=\frac56}\).
Ponieważ prawdopodobieństwo jest zawsze nieujemne, więc \(\displaystyle{ P(A\cap B)\geqslant0}\).
Mamy też \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant P(B)}\), zatem \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant\frac13}\).
Ponadto \(\displaystyle{ P(A\cup B)\leqslant P(A)+P(B)=\frac12+\frac13=\frac56}\).
Ponieważ prawdopodobieństwo jest zawsze nieujemne, więc \(\displaystyle{ P(A\cap B)\geqslant0}\).
Mamy też \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant P(B)}\), zatem \(\displaystyle{ P(A\cap B)\leqslant\frac13}\).
Ostatnio zmieniony 20 paź 2007, o 22:14 przez andkom, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Wykaż, znając P(A) i P(B).
\(\displaystyle{ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\leqslant p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ p(A\cap B)\leqslant p(A) \\ p(A\cap B)\leqslant \frac{1}{3} \ \ /(-1) \\ -p(A\cap B)\geqslant -\frac{1}{3} \ \ /+p(A)+p(B} \\ p(A)+p(B)-p(A\cap B)\geqslant \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ p(A\cup B)\geqslant \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ p(A\cap B)\leqslant p(A) \\ p(A\cap B)\leqslant \frac{1}{3} \ \ /(-1) \\ -p(A\cap B)\geqslant -\frac{1}{3} \ \ /+p(A)+p(B} \\ p(A)+p(B)-p(A\cap B)\geqslant \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ p(A\cup B)\geqslant \frac{1}{2}}\)