1 Udowodnij że:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{2}(1+\sqrt{5})}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4}\)
c) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}}\)
2. Porównaj liczby
\(\displaystyle{ 2^{350}}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{174}}\)
3.Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in N} (\frac{n^6}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^1}{3}) x\in N}\)
4. Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), takie by liczba \(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1}}\) była liczbą całkowitą.
5. Znajdź taką liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), aby liczby \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n-110}\) były kwadratami liczb naturalnych.
I OSTATNIE
6. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba \(\displaystyle{ \frac{100^{n+1}+4\cdot10^{n+1}+4}{9}}\) jest kwadratem liczby naturalnej
PROSZE o jak najszybsze rozwiązanie tych zadań
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
2.
\(\displaystyle{ 2^{350}=4^{175}>3^{174}}\)
3. patrz moje rozwiązanie
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=44031
5. Znajdź taką liczbę naturalną n, aby liczby \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n-110}\) były kwadratami liczb naturalnych.
niech \(\displaystyle{ n+1=a^2}\) i \(\displaystyle{ n-110=b^2}\)
wtedy \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)=111=3*37 a-b=3}\) i \(\displaystyle{ a+b=37}\)
lub \(\displaystyle{ a-b=1}\) i \(\displaystyle{ a+b=111}\)
czyli {a=15 i b=12} lub {a=56 i b=55}
pierwsza para liczb (15,12) nie spełnia założeń
więc a=56 i b=55 i wtedy \(\displaystyle{ n=3135}\)
6.
\(\displaystyle{ \frac{100^{n+1}+4\cdot10^{n+1}+4}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^2}\)
i liczba \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+2}{3}}\) jest całkowita gdyż suma jej cyfr wynosi trzy czyli liczba ta jest podzielna przez trzy
\(\displaystyle{ 2^{350}=4^{175}>3^{174}}\)
3. patrz moje rozwiązanie
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=44031
5. Znajdź taką liczbę naturalną n, aby liczby \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n-110}\) były kwadratami liczb naturalnych.
niech \(\displaystyle{ n+1=a^2}\) i \(\displaystyle{ n-110=b^2}\)
wtedy \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)=111=3*37 a-b=3}\) i \(\displaystyle{ a+b=37}\)
lub \(\displaystyle{ a-b=1}\) i \(\displaystyle{ a+b=111}\)
czyli {a=15 i b=12} lub {a=56 i b=55}
pierwsza para liczb (15,12) nie spełnia założeń
więc a=56 i b=55 i wtedy \(\displaystyle{ n=3135}\)
6.
\(\displaystyle{ \frac{100^{n+1}+4\cdot10^{n+1}+4}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^2}\)
i liczba \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+2}{3}}\) jest całkowita gdyż suma jej cyfr wynosi trzy czyli liczba ta jest podzielna przez trzy
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 sie 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sto(L)ica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
fajnie szybko pracujecie ^^ jeszcze 1 a,c oraz całe 4
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
1c) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}}\)
4. \(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1}=n^2+\frac{2}{n-1}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{n-1}}\) musi być całkowite skąd otrzymujemy, że n={-1,0,2,3}
4. \(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1}=n^2+\frac{2}{n-1}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{n-1}}\) musi być całkowite skąd otrzymujemy, że n={-1,0,2,3}
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 sie 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sto(L)ica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
JESZCZE 1a !!
[ Dodano: 20 Października 2007, 17:25 ]
hmm \(\displaystyle{ \frac{n^3-n^2}{n-1}=n^2}\) ?? czemu ??
[ Dodano: 20 Października 2007, 17:25 ]
hmm \(\displaystyle{ \frac{n^3-n^2}{n-1}=n^2}\) ?? czemu ??
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 sie 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sto(L)ica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ
-.- jaki ze mnie głupek no tak ehh kasia zrobisz jeszcze 1a dla mnie ??