Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągów funkcyjnych:
a) \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{nx}, \ x (0, )}\)
b) \(\displaystyle{ f_n(x)=frac{1}{nx}, x [5, )}\)
za pomoc z góry bardzo dziękuję.
zbieżność jednostajna i punktowa
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
zbieżność jednostajna i punktowa
dla \(\displaystyle{ x\in(0,\infty)}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1{nx}=0}\), a więc zarówno w a), jak i w b) mamy zbieżność punktową do funkcji zerowej (o odpowiedniej dziedzinie).
W przypadku b) nasza zbieżność jest jednostajna, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\geqslant5}\) mamy \(\displaystyle{ \left|\frac1{nx}-0\right|\leqslant\frac1{5n}}\), czyli \(\displaystyle{ sup_{xin[5,infty)}|f_n(x)-0|leqslantfrac1{5n} o0}\).
W przypadku a) zbieżności jednostajnej nie ma, bo dla każdego n mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in(0,\infty)}\left|\frac1{nx}\right|=+\infty\not\to0}\)
W przypadku b) nasza zbieżność jest jednostajna, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\geqslant5}\) mamy \(\displaystyle{ \left|\frac1{nx}-0\right|\leqslant\frac1{5n}}\), czyli \(\displaystyle{ sup_{xin[5,infty)}|f_n(x)-0|leqslantfrac1{5n} o0}\).
W przypadku a) zbieżności jednostajnej nie ma, bo dla każdego n mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in(0,\infty)}\left|\frac1{nx}\right|=+\infty\not\to0}\)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
zbieżność jednostajna i punktowa
Bierze; )
W tym przypadku tak, ale ogólnie pytamy się przez co można ograniczyć wartości funkcji, u nas funkcja przyjmuje największe wartości własnie z prawej strony zera. No i na tyle duże że nie ma skończonego kresu górnego.
W tym przypadku tak, ale ogólnie pytamy się przez co można ograniczyć wartości funkcji, u nas funkcja przyjmuje największe wartości własnie z prawej strony zera. No i na tyle duże że nie ma skończonego kresu górnego.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
zbieżność jednostajna i punktowa
Dziekuje za docenienie mojej pomocy natomiast to andkom wykonał tutaj czarną robotę i jemu się tym bardziej punkt należy.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.