równanie z prametrem

[robin5hood]

Dla jakiej liczby \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki równania
\(\displaystyle{ x^4 - 10x^2 +m =0}\)tworzą ciąg artymetyczny ? Podaj te pierwiastki .

[Lorek]

Może tak trochę od "tyłu"
1. Załóżmy, że równanie ma 4 pierwiastki tworzące ciąg arytm. czyli te pierwiastki to \(\displaystyle{ a,\; a+r,\; a+2r,\; a+3r}\) Z wz. Viete'a ich suma=0
\(\displaystyle{ 4a+6r=0\Rightarrow r=-\frac{2}{3}a}\)
czyli pierwiastki \(\displaystyle{ a,\;\frac{1}{3}a,\;-\frac{1}{3}a,\;-a}\)
Nasze równanie mozna więc zapisać tak:
\(\displaystyle{ (x-a)(x-\frac{1}{3a})(x+\frac{1}{3}a)(x+a)=0\iff (x^2-a^2)(x^2-\frac{a^2}{9})=0}\)
stosujemy tradycyjne podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\) (również w równaniu wyjściowym).
\(\displaystyle{ (t-a^2)(t-\frac{a^2}{9})=0\\t^2-10t+m=0}\)
i znów wz. Viete'a i mamy \(\displaystyle{ a^2+\frac{a^2}{9}=10\Rightarrow a=\pm 3}\). Stąd równanie:
\(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2-9)=0\Rightarrow m=9}\)
2. Załóżmy, że ma 3 pierwiastki, wtw gdy równanie \(\displaystyle{ t^2-10t+m=0}\) ma 1 pierwiastek dodatni, drugi =0 \(\displaystyle{ \iff m=0}\)
i można szukać pierwiastków.