[Teoria liczb] Rozwiąż równanie

[MarcinT]

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takie, że

\(\displaystyle{ a b}\)
\(\displaystyle{ a^{b}=b^{a}}\)

[andkom]

Przedstawię rozwiązanie trochę niestandardowe (przynajmniej początek jest niestandardowy). Dla każdego całkowitego n>2 mamy
\(\displaystyle{ (n+1)^n=sum_{k=0}^ninom nkn^{n-k}=n^nsum_{k=0}^ninom nkn^{-k}=\
=n^nsum_{k=0}^nfrac{n(n-1)cdots(n-k+1)}{k!n^k}
leqslant n^nsum_{k=0}^nfrac1{k!}=n^nleft(1+1+sum_{k=2}^nfrac1{k!}
ight)leqslant\
leqslant n^nleft(1+1+sum_{k=2}^nfrac1{k(k-1)}
ight)
=n^nleft(1+1+sum_{k=2}^nleft(frac1{k-1}-frac1k
ight)
ight)=\
=n^nleft(1+1+1-frac1n
ight)2 i ciąg \(\displaystyle{ (\sqrt[n]n)_{n>2}}\) jest ściśle malejący. Wynika stąd, że jeśli \(\displaystyle{ a^b=b^a}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[a]a=\sqrtb}\) oraz a i b są całkowite dodatnie i różne, to co najmniej jedna z nich jest równa 1 lub 2, a przy ustalonej jednej z nich możliwa jest tylko jedna wartość drugiej. Łatwo sprawdzić, że nie ma rozwiązań w których któraś z liczb a, b jest równa 1, a jedyne rozwiązania, gdy któraś jest równa 2 to (2,4) i (4,2). \(\displaystyle{ 2^4=4^2}\)}\)

[Piotr Rutkowski]

Łał, muszę przyznać, że naprawdę skomplikowane przekształcenia. Jeśli mogę coś zasugerować, to można żądaną nierówność otrzymać dużo prościej:
\(\displaystyle{ (n+1)^{n}}\)

[andkom]

\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n})^{n}}\)

[MarcinT]

Nie ma pewności, czy pytający wie i umie udowodnić

Ja tutaj dałem to zadanie nie dlatego ze nie umiem tego zrobić tylko dlatego żeby sobie inni forumowicze przez chwile potrenowali w końcu to kółko matematyczne

Co do rozwiazania to podobało mi się bardzo andkoma. Inna metoda to sprowadzenie do nierówności \(\displaystyle{ n}\)