Jak udowodnić podzielność liczby przez 7, 11 i 13?
z góry dziękuję za pomoc
Podzielność przez 7,11,13
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Podzielność przez 7,11,13
Mogę Ci machnąć dowód podzielności przez 11 (jest bardzo łatwy).
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b (modm)}\) to \(\displaystyle{ W(a) \equiv W(b) (modm)}\), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 (mod11)}\). W takim razie biorąc \(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}\) otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}+...+(-1)^{n}a_{n}(mod11)}\), co kończy dowód
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b (modm)}\) to \(\displaystyle{ W(a) \equiv W(b) (modm)}\), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 (mod11)}\). W takim razie biorąc \(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}\) otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}+...+(-1)^{n}a_{n}(mod11)}\), co kończy dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 21 paź 2006, o 13:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legnica
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Podzielność przez 7,11,13
Przez siedem nie znam dowodu. Przez 9 i 3 mamy analogicznie jak dla 11 (w tym wypadku cechy podzielności dla 3 i 9 będą takie same, bo dowód taki sam):
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli aequiv b (modm) to W(a) equiv W(b) (modm), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 10\equiv 1 \ (mod9)}\) czyli dalej
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}+a_{1}+a_{2}+...++a_{n}(mod9)}\)
Ten sam dowód jest identyczny dla trójki
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli aequiv b (modm) to W(a) equiv W(b) (modm), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 10\equiv 1 \ (mod9)}\) czyli dalej
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}+a_{1}+a_{2}+...++a_{n}(mod9)}\)
Ten sam dowód jest identyczny dla trójki