ciąg rekurencyjny - granica

mm34639 · Post autor: **mm34639** » 18 paź 2007, o 19:27

mamy tak oto określony ciąg: \(\displaystyle{ x_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}}\)

niewątpliwie jest on rosnący, i różnice między kolejnymi wyrazami są coraz mniejsze, ale nie mam pojęcia czy dąży do nieskończoności, czy nie

próbowałem go rozpisać na różne sposoby żeby zobaczyć jakąś jego normalną postać, ale nie wyszło... :/

prosiłbym o coś co by mi pomogło znaleźć odpowiedź na pytanie o jego granicę...

jarekp · Post autor: **jarekp** » 18 paź 2007, o 20:56

Nie jest to chyba w pełni formalny dowód ale moje rozumowanie jest takie:

jeśli by istniała granica \(\displaystyle{ g}\) ciągu Xn wtedy mielibyśmy:

\(\displaystyle{ g=g+\frac{1}{g} g\to +\infty}\)

a więc nie istnieje granica ciągu Xn co razem z faktem że ciąg ten jest rosnący daje nam
że ciąg Xn jest rozbieżny do nieskończoności

mm34639 · Post autor: **mm34639** » 18 paź 2007, o 21:12

jeśli mam być szczery to nie rozumiem

ok, powiedzmy że istnieje \(\displaystyle{ g}\)

ale dlaczego \(\displaystyle{ g= g + \frac{1}{g}}\) ??? (skąd to wziąłeś)

jarekp · Post autor: **jarekp** » 18 paź 2007, o 21:21

jeśli \(\displaystyle{ lim x_{n}=lim x_{n+1}=g}\)
to przechodząc z n do nieskończoności możemy przyjąć \(\displaystyle{ x_{n}=g}\)i\(\displaystyle{ x_{n+1}=g}\)

podstawiając w równaniu \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ g=g+\frac{1}{g}}\)

mm34639 · Post autor: **mm34639** » 18 paź 2007, o 22:28

dzięki