pierwiastek i moduł

[Akruker]

witam wszystkich jestem nowy.
takie coś:


\(\displaystyle{ \sqrt[2]{a^{2}}}\) = |a|
to narazie jest ok ale gdy mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[2]{a}}\) i podniesiemy to do kwadratu to większoś uwaza i tak uczą w szkole ze jest rowne \(\displaystyle{ \sqrt[2]{a^{2}}}\) czyli |a|.
i ja sie z tym normalnie niemoge zgodzić no bo jak podnosimy to do kwadratu to zapiszemy tak \(\displaystyle{ \sqrt[2]{a}^{2}}\). i teraz w zaleznosci od naszego 'a' jest to słuszne z matematyka lub nie.
gdy a >= 0
to jest to sluszne bo pod pierwiastkiem stopnia 2 jest liczba nieujemna
natomiast gdy a \(\displaystyle{ \sqrt[2]{a^{2}}}\) rozne od \(\displaystyle{ \sqrt[2]{a}^{2}}\) w zbiorze liczb \(\displaystyle{ R}\)

[*Kasia]

Podnosząc \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) do kwadratu, otrzymujemy \(\displaystyle{ (\sqrt{a})^2=a}\) z tego powodu, o którym napisałeś.
Ale \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}\neq (\sqrt{a})^2}\) tylko dla \(\displaystyle{ a}\)

[uczeń_5]

wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zeru, dlatego:

\(\displaystyle{ |a|=\sqrt[2]{a^2}=(\sqrt[2]{a})^2=(a^\frac{1}{2})^2=a^\frac{2}{2}=a^1=a}\)

[Lorek]

tak uczą w szkole

ciekawe w której, u mnie nie
Oczywiście jeżeli np. \(\displaystyle{ \sqrt{a}=2}\), to \(\displaystyle{ a=4}\). Można też zapisać (bez błędu) \(\displaystyle{ |a|=4}\), z tym że dziedzina wyrażenia wymusza równość \(\displaystyle{ |a|=a}\), więc i tak rozwiązanie będzie jedno.

z moich dzialan wynika ze:

2 funkcje/ wyrażenia są równe jeżeli
po pierwsze primo : mają te same dziedziny (i tu już wsio widać)
po drugie primo: dla tych samych argumentów przyjmują te same wartości.

[Akruker]

ok wszystko rozumiem ale jeszcze jedno do Kasi:
dlaczego nie mozna napisac tak jak ja napisalem ze te wyrazenia są rózne w zbiorze liczb reczywistych. przecież w całym zbiorze ogólnie jest to rozne.To tak samo jak z dzieleniem w zbiorze liczb całkowitych, niektore liczby sie dzielą przez siebie ale ogólnie mowi sie ze dzielenie w zbiorze liczb calkowitych jest niewykonalne, niemozliwe.

[adek05]

Mnie uczyli i uczą, że rozwiązania takie należy pisać tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{4}=2 -2\\}\)
Analogicznie do tego wynikają wnioski napisane w postach wyżej.

[*Kasia]

Nie jestem na 100% pewna czy tamten zapis jest błędny, ale wydaje mi się, że jeśli równość jest prawdziwa dla jakiś liczb rzeczywistych, to nie można napisać, że w zbiorze liczb rzeczywistych (czyli dla każdej liczby rzeczywistej) jest ono błędna.

[Akruker]

ok zgadzam sie z tobą bo w koncu mowiąc "w zbiorze liczb rzeczywistych" mowimy "dal kazdej liczby nalezacej do tego zbioru" zachodzi jakieś wyrazenie logiczne.
Dziwi mnie tylko to z tym dzieleniem liczb calkowitych, dlaczego mowi sie ze w calym zbiorze jest niewykonalene skoro dla niektorych liczb jest wykonalne.

[ Dodano: 18 Października 2007, 16:57 ]
dodam jescze takie rownanie ale nie związane chyba dosc bardzo z tematem:
jest ono troche dziwne.

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{10+x}+\sqrt[2]{10-x} = \frac{x}{3}}\)
obliczając sobie przedzial dla x zeby te rownanie bylo logicze w zbiorze \(\displaystyle{ R}\)
wyjdzie nam przedzial \(\displaystyle{ x\in }\)
do tego przedzialu nalezy rownież 0.
łatwo morzemy zauwazyć ze gdy \(\displaystyle{ x=0}\) to nasze rownanie jest sprzeczne.
dobra teraz przekształcamy je po kolei:
\(\displaystyle{ \sqrt[2]{10-x} = \frac{x}{3}-\sqrt[2]{10+x}}\)
teraz zakladamy ze nasz \(\displaystyle{ x\in}\) czyli wyrazenia pod pierwiastkami zawsze beda dodatnie.
nastepnie podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ 10-x \ = \frac{x^2}{9}-2\frac{x}{3}\sqrt[2]{10+x}+10+x}\)
\(\displaystyle{ 0 = \frac{x^2}{9} \ - 2\frac{x}{3}\sqrt[2]{10+x}+2x}\) mnozymy przez 9
\(\displaystyle{ 0 = x^2-6x\sqrt[2]{10+x}+18x}\)
mozna to zpisać
\(\displaystyle{ 0 = x(x-6\sqrt[2]{10+x}+18)}\)
i z tego wynika ze to samo rownanie bo tylko przeksztalcone jest poprawne gdy nasz \(\displaystyle{ x=0}\) chociaz na poczatku bylo sprzeczne dla tej wartosci

[*Kasia]

dlaczego mowi sie ze w calym zbiorze jest niewykonalene skoro dla niektorych liczb jest wykonalne.

W całym zbiorze jest niewykonalne. Czyli istnieje liczba należąca do zbioru liczb całkowitych (0), dla której jest niewykonalne.

[Akruker]

ale jakby tak to interpretowac to to mozna powiedziec o moim zapisie ze w zbiorze rezczywistym istnieje liczba \(\displaystyle{ a}\) dla ktorej \(\displaystyle{ (\sqrt[2]{a})^2}\) jest niewykonalne np. -1

więc w calym zbiorze jest to niewykonalne czyli \(\displaystyle{ (\sqrt[2]{a})^2}\) rozne \(\displaystyle{ \sqrt[2]{a^2}}\) w calym zbiorze \(\displaystyle{ R}\)

[Lorek]

adek05, to, co napisałeś jest prawdą, ale w zbiorze liczb zespolonych W rzeczywistych nie.

[Akruker]

apropo tego rownania co dalem to juz wiem co jest nie tak