Uzasadnienie podzielności przez 2

[Temonuv]

Sumę kwadratów 3 kolejnych liczb N począwszy od n zmniejszono o 3n+5. Udowodnij, żę otrzymana liczba jest podzielna przez 6.

Jak jest podzielna, przez 6 to jest przez 3 i 2. Z podzielnością przez 3 nie miałem kłopotu, za to...
Czy to jest dobrze?

\(\displaystyle{ x=3(n^{2}+n)}\) - to mi wyszło wcześniej przy udowadnianiu przez 3
\(\displaystyle{ 2|x (\exists k\inZ)(3k=x)}\)
\(\displaystyle{ 2k=3(n^2+n)}\)
\(\displaystyle{ k=1.5n^2+1.5n}\)

Zauważam, że z 3 kolejnych liczb co najmniej 1 jest nieparzysta, więc podniesiona do potęgi 2 i pomnożona przez 1.5 da nam liczbę z cyfrą jedności nieparzystą i cyfrą 5 po przecinku. Ta sama liczba tylko pomnożona przez 1.5 da nam liczbę z cyfry jedności parzystą i cyfrą 5 po przecinku. Gdy dodamy do siebie te liczby otrzymamy liczbę z cyfrą jedności parzystą, więc będzie podzielna przez 2.

I jakby ktoś był taki miły i zapisał to w krótszy sposób, bo chciałbym się nauczyć tej Kongruencji, a nie bardzo tu umiałem zastosować. Chyba , ze się nie da...

[adek05]

\(\displaystyle{ 3(a+a^{2})}\) Mamy taką postać najprostszą. Pozostaje rozpatrzyć dwa przypadki, a jest parzyste i a jest nieparzyste.
\(\displaystyle{ a=2n a=2n+1\\
Ad 1\\ 3[2n+(2n)^{2}]=3(2n+4n^{2})=6(n+2n^{2})\\
Ad 2\\ 3[2n+1+(2n+1)^{2}]=3(2n+1+4n^{2}+4n+1)=6(3n+1+2n^{2})}\)
Kongruencje
\(\displaystyle{ a=2n a=2n+1\\
Ad\ 1\\ 2n^{2} \equiv 0 (mod\ 2)\\
2n \equiv 0 (mod\ 2)\\
3(2n^{2}+2n) \equiv 0 (mod\ 2)\\

Ad\ 2\\ (2n+1)^{2} \equiv 1 (mod\ 2)\\
2n+1 \equiv 1 (mod\ 2)\\
3[(2n+1)^{2}+2n+1]\equiv 0 (mod\ 2)}\)

[Temonuv]

AAA to jeszcze muszę rozpatrzyć n parzyste. OK dzięki.