pole rombu
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
pole rombu
Oblicz pole rombu \(\displaystyle{ ABCD}\), wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ R_c}\) i \(\displaystyle{ R_d}\)
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
pole rombu
oznaczenia:
AC=x
BD=y
bok rombu=a
S:=pole rombu
skorzystam ze wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)
dodatkowo \(\displaystyle{ P_{ABD}=P_{ABC}=\frac{S}{2}=\frac{xy}{4}}\)
mamy więc
\(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=\frac{a^2}{R_c}}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{a^2}{R_d}}\)
mnożąc te dwie równości stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{a^4}{2R_c R_d}=\frac{xy}{2}=S}\)
AC=x
BD=y
bok rombu=a
S:=pole rombu
skorzystam ze wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)
dodatkowo \(\displaystyle{ P_{ABD}=P_{ABC}=\frac{S}{2}=\frac{xy}{4}}\)
mamy więc
\(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=\frac{a^2}{R_c}}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{a^2}{R_d}}\)
mnożąc te dwie równości stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{a^4}{2R_c R_d}=\frac{xy}{2}=S}\)