Kongruencje

[m_m]

Mam zadanko, z którym mam problem

Wykaż, że jeżeli liczna n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba \(\displaystyle{ 2^{n+2}+3^{2n+1}}\) jest podzielna przez 7.

Oczywiście zapis za pomocą modulo


Z góry dziękuję za pomoc.

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv 2 \ (mod7)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}=3^{2n}*3\equiv 2^{n}*3}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 2^{n}*3+2^{n+2}=3*2^{n}+4*2^{n}=7*(2^{n})\equiv 0 \ (mod7)}\)

[mat1989]

polskimisiek, a mógłbyś napisać w jaki sposób \(\displaystyle{ 3^{2n}}\) zamieniło się w \(\displaystyle{ 2^n}\)? niestety nie miałem kongruencji w szkole, a dosyć mnie to zainteresowało.

[mms]

Skoro
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv 2 \ (\mathrm{mod}7)}\)
to
\(\displaystyle{ 3^{2n}\equiv 2^n \ (\mathrm{mod}7)}\)
Stąd wynika ostatnie przejście w drugiej linijce.