granice 4 funkcji trygonometrycznych

[isen]

Mam taki problem z tymi 4 zadaniami, a niedługo zbliża się kolos:(

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\frac{\sin{3x} }{2x})}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\frac{\tan{3x} }{\tan{5x}})}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\cos^2 x)^{2 \over \tan x}}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} (1 + \sin{\pi x})^\cot{\pi x}}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{2x}=\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{3}{2}\to \frac{3}{2}\\\frac{\tan 3x}{\tan 5x}=\frac{\tan 3x}{3x}\cdot\frac{5x}{\tan 5x}\cdot \frac{3}{5}\to\frac{3}{5}}\)

[ Dodano: 18 Października 2007, 15:23 ]
\(\displaystyle{ (\cos^2 x)^\frac{2}{\tan x}=(1-\sin^2 x)^\frac{2}{\tan x}=[(1-\sin^2 x)^{\frac{1}{\sin^2 x}}]^{2\sin x\cos x}\to [e^{-1}]^0\\ (1+\sin \pi x)^{\cot \pi x}=[(1+\sin \pi x)^\frac{1}{\sin \pi x}]^{\cos \pi x} \to e^{-1}}\)

[ Dodano: 18 Października 2007, 15:25 ]
Jakbyś nie wiedział co z czego, to jeżeli \(\displaystyle{ a_n\to 0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{\sin a_n}{a_n}\to 1\\\frac{\tan a_n}{a_n}\to 1\\(1+a_n)^\frac{1}{a_n}\to e\\(1-a_n)^\frac{1}{a_n}\to e^{-1}}\)

[isen]

[ Dodano: 18 Października 2007, 15:23 ]
\(\displaystyle{ (\cos^2 x)^\frac{2}{\tan x}=(1-\sin^2 x)^\frac{2}{\tan x}=[(1-\sin^2 x)^{\frac{1}{\sin^2 x}}]^{2\sin x\cos x}\to [e^{-1}]^0\\ (1+\sin \pi x)^{\cot \pi x}=[(1+\sin \pi x)^\frac{1}{\sin \pi x}]^{\cos \pi x} \to e^{-1}}\)

czy nie powinno być w ostatniej potedze?? \(\displaystyle{ {\cot \pi x}}\)

[Lorek]

nie, \(\displaystyle{ (a^b)^c=a^{bc}}\), a
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \pi x}\cdot \cos \pi x=\cot \pi x}\)
czyli wsio pasuje.