Wiadomo że zdarzenia A i B są niezależne, \(\displaystyle{ P(A-B)=\frac{1}{6}}\) zaś \(\displaystyle{ P(B-A)=\frac{1}{4}}\) Oblicz \(\displaystyle{ P(A\cup B)}\)
z góry dziękuję za pomoc =]
niezależność zdarzeń
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
niezależność zdarzeń
\(\displaystyle{ \frac16=P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)\\
\frac14=P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ P(B)-P(A)=\frac14-\frac16=\frac1{12}\\
\frac16=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-P(A)\left(P(A)+\frac1{12}\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(A)^2-\frac{11}{12}P(A)+\frac16=0}\), a zatem
\(\displaystyle{ P(A)=\frac23}\) (a wtedy \(\displaystyle{ P(B)=\frac34}\))
lub
\(\displaystyle{ P(A)=\frac14}\) (a wtedy \(\displaystyle{ P(B)=\frac13}\)).
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)}\) i wynosi (w zależności od przypadku)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac{11}{12}}\)
lub
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac12}\)
\frac14=P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ P(B)-P(A)=\frac14-\frac16=\frac1{12}\\
\frac16=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-P(A)\left(P(A)+\frac1{12}\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(A)^2-\frac{11}{12}P(A)+\frac16=0}\), a zatem
\(\displaystyle{ P(A)=\frac23}\) (a wtedy \(\displaystyle{ P(B)=\frac34}\))
lub
\(\displaystyle{ P(A)=\frac14}\) (a wtedy \(\displaystyle{ P(B)=\frac13}\)).
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)}\) i wynosi (w zależności od przypadku)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac{11}{12}}\)
lub
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac12}\)