\(\displaystyle{ a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n = 0}\) gdzie \(\displaystyle{ a_k \mathbb{Z}}\) (liczb całkowitych) ma pierwiastek p/q wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a_n}\) jest podzielny przez p i \(\displaystyle{ a_0}\)jest podzielny przez q
z góry przepraszam za zapis, niezapoznałem się jeszcze z zapisami graficznymi bo jestem tu nowy.
i jeszcze taka jedna rzecz, nieprosze o rozwiązywanie zadania za mnie, tylko o pokazanie krok po kroku ZAZNACZAM od podstaw co mam zrobić, bo dowodu przeprowadzić najnormalniej niepotrafie
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52
Wykazać że równanie
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Wykazać że równanie
Znaczy nie wiem, czy to z indukcji można zrobić, ale mniejsza z tym.
Wystarczy tu podstawić pod x p/q. Najpierw indeks dolny:
Po przerzuceniu go na 1 stronę\(\displaystyle{ -a_{n}=a_{n-1}*\frac{p}{q}+a_{n-2}*(\frac{p}{q})^{2}+...+a_{0}*(\frac{p}{q})^{n}}\) skoro równość ma zachodzić oraz z założenia \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\) mamy, że prawa strona dzieli się przez p, a wi9ęc i lewa strona musi się dzielić przez p (oczywiście po lewej mamy liczbę całkowitą, a więc po prawej również).
Co do indeksu górnego:
podstawiamy tak jak poprzednio
wymnażamy, przez \(\displaystyle{ q^{n-1}}\)
przertzucamy indeks górny na jedną stronę
wychodzi \(\displaystyle{ -a_{0}*\frac{p^{n}}{q}=a_{1}p^{n-1}+a_{2}p^{n-2}q+...+a_{n}*q^{n-1}}\)
mamy oczywiście, że \(\displaystyle{ q|p}\) jest nieprawdą, a więc skoro po obu stronach są liczby całkowite to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ q|a_{0}}\)
EDIT: Na marginesie, to się nazywa twierdzenie o pierwiastku wymiernym wielomianu
Wystarczy tu podstawić pod x p/q. Najpierw indeks dolny:
Po przerzuceniu go na 1 stronę\(\displaystyle{ -a_{n}=a_{n-1}*\frac{p}{q}+a_{n-2}*(\frac{p}{q})^{2}+...+a_{0}*(\frac{p}{q})^{n}}\) skoro równość ma zachodzić oraz z założenia \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\) mamy, że prawa strona dzieli się przez p, a wi9ęc i lewa strona musi się dzielić przez p (oczywiście po lewej mamy liczbę całkowitą, a więc po prawej również).
Co do indeksu górnego:
podstawiamy tak jak poprzednio
wymnażamy, przez \(\displaystyle{ q^{n-1}}\)
przertzucamy indeks górny na jedną stronę
wychodzi \(\displaystyle{ -a_{0}*\frac{p^{n}}{q}=a_{1}p^{n-1}+a_{2}p^{n-2}q+...+a_{n}*q^{n-1}}\)
mamy oczywiście, że \(\displaystyle{ q|p}\) jest nieprawdą, a więc skoro po obu stronach są liczby całkowite to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ q|a_{0}}\)
EDIT: Na marginesie, to się nazywa twierdzenie o pierwiastku wymiernym wielomianu