Para uporządkowana
Para uporządkowana
definicja pary uporządkowanej to:
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\)
dlaczego \(\displaystyle{ x}\) po prawej stronie występuje dwa razy, czy nie można by tego zapisać:
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\}, \{y\} \}}\) albo w ogóle \(\displaystyle{ (x,y) = \{ x, y \}}\)?
jaki cel mają te podzbiory, dlaczego \(\displaystyle{ x}\) jest w nich zawarty dwukrotnie?
będę wdzięczny za pomoc
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\)
dlaczego \(\displaystyle{ x}\) po prawej stronie występuje dwa razy, czy nie można by tego zapisać:
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\}, \{y\} \}}\) albo w ogóle \(\displaystyle{ (x,y) = \{ x, y \}}\)?
jaki cel mają te podzbiory, dlaczego \(\displaystyle{ x}\) jest w nich zawarty dwukrotnie?
będę wdzięczny za pomoc
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34499
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Para uporządkowana
Widzisz, podstawową własnością pary uporządkowanej jest ta:
\(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\). Para uporządkowana zdefiniowana w sposób podany przez Ciebie na początku spełnia ten warunek, a w sposób proponowany przez Ciebie - niestety nie.
JK
\(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\). Para uporządkowana zdefiniowana w sposób podany przez Ciebie na początku spełnia ten warunek, a w sposób proponowany przez Ciebie - niestety nie.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 11 razy
Para uporządkowana
Przepraszam, że "odkopuję" temat, ale właśnie się zastanawiam nad pytaniem postawionym w pierwszym poście - dlaczego zapis jest akurat taki (\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\))? Mógłby Pan (lub ktokolwiek inny) zapisaną przez Pana odpowiedź przedstawić na przykładzie lub jakoś rozwinąć tak, żeby było to nieco jaśniejsze?
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 22:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Para uporządkowana
Weźmy na przykład to podejście \(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\}, \{y\} \}}\).
Para uporządkowana ma spełniać:
Para uporządkowana ma spełniać:
Teraz weźmy takie pary uporządkowane \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\), pomimo że podana własność nie jest spełniona.Jan Kraszewski pisze: \(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\)
-
- Administrator
- Posty: 34499
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Para uporządkowana
Jak napisałem powyżej, podstawą własnością pary uporządkowanej jest
Są jednak tacy matematycy, którzy mają dziwne fobie i martwią się, czy to, co sobie wymyśliliśmy, naprawdę istnieje (niektórzy nazywają ich teoriomnogościowcami). Postanowili oni, że nie będą wierzyć w parę uporządkowaną, dopóki jej porządnie (w swoim mniemaniu) nie zdefiniują. I udało im się to - wymyslili taką definicję:
\(\displaystyle{ (a,b):=\{\{a\}, \{a.b\}\}}\).
Okazuje się, że tak zdefiniowana para uporządkowana ma wspomnianą przeze mnie własność (co każdy może sobie udowodnić). Teoriomnogościowcy odetchnęli - para uporządkowana istnieje! Nawiasem mówiąc, inni matematycy, odlegli od teorii mnogości, nawet nie zauważyli, że zaszło coś istotnego - oni od dawna używali pary uporządkowanej i nie mieli problemów egzystencjalnych z tym związanych. Cierpią tylko studenci, gdy zdarzy im się, że teoriomnogościowiec, który ich uczy, postanowi przekonać ich o doniosłości odkrycia definicji pary uporządkowanej (bo studenci ci mają zazwyczaj spory kłopot ze szczerym docenieniem owej doniosłości).
JK
i tak naprawdę przeciętnemu matematykowi nic więcej do szczęścia nie potrzeba.Jan Kraszewski pisze:\(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
Są jednak tacy matematycy, którzy mają dziwne fobie i martwią się, czy to, co sobie wymyśliliśmy, naprawdę istnieje (niektórzy nazywają ich teoriomnogościowcami). Postanowili oni, że nie będą wierzyć w parę uporządkowaną, dopóki jej porządnie (w swoim mniemaniu) nie zdefiniują. I udało im się to - wymyslili taką definicję:
\(\displaystyle{ (a,b):=\{\{a\}, \{a.b\}\}}\).
Okazuje się, że tak zdefiniowana para uporządkowana ma wspomnianą przeze mnie własność (co każdy może sobie udowodnić). Teoriomnogościowcy odetchnęli - para uporządkowana istnieje! Nawiasem mówiąc, inni matematycy, odlegli od teorii mnogości, nawet nie zauważyli, że zaszło coś istotnego - oni od dawna używali pary uporządkowanej i nie mieli problemów egzystencjalnych z tym związanych. Cierpią tylko studenci, gdy zdarzy im się, że teoriomnogościowiec, który ich uczy, postanowi przekonać ich o doniosłości odkrycia definicji pary uporządkowanej (bo studenci ci mają zazwyczaj spory kłopot ze szczerym docenieniem owej doniosłości).
Raczej \(\displaystyle{ \{\{1\},\{0\}\}=\{\{0\},\{1\}\}.}\)Vardamir pisze:Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\),
JK
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Para uporządkowana
Faktycznie, zagalopowałem się. Przyjąłem jedną wersje, a zasugerowałem się drugą.Jan Kraszewski pisze:Raczej \(\displaystyle{ \{\{1\},\{0\}\}=\{\{0\},\{1\}\}.}\)Vardamir pisze:Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\),
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 11 razy
Para uporządkowana
Więc zapis \(\displaystyle{ \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\) w powyższym wyrażeniu wskazuje na to, że ta para musi być uporządkowana w podanej kolejności, ale elementy \(\displaystyle{ (x,y)}\) "wstawiamy" jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a nie jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x,y}\) - czy dobrze to rozumiem? I czy zdefiniowanie "pary uporządkowanej" jako "pary liczb lub elementów, dla których ustalona została kolejność tychże" będzie właściwe i pełne?
Dziękuję bardzo za obie powyższe odpowiedzi
Dziękuję bardzo za obie powyższe odpowiedzi
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 23:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Para uporządkowana
Co ciekawe niektórzy nazywają ten twór "parą uporządkowaną w sensie Kuratowskiego" - myślę, że Profesor się w grobie przewraca:)Jan Kraszewski pisze:Teoriomnogościowcy odetchnęli - para uporządkowana istnieje! Nawiasem mówiąc, inni matematycy, odlegli od teorii mnogości, nawet nie zauważyli, że zaszło coś istotnego - oni od dawna używali pary uporządkowanej i nie mieli problemów egzystencjalnych z tym związanych. Cierpią tylko studenci, gdy zdarzy im się, że teoriomnogościowiec, który ich uczy, postanowi przekonać ich o doniosłości odkrycia definicji pary uporządkowanej (bo studenci ci mają zazwyczaj spory kłopot ze szczerym docenieniem owej doniosłości).
-
- Administrator
- Posty: 34499
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Para uporządkowana
Tak, choć w przypadku pary uporządkowanej nie mówimy o elementach, tylko o współrzędnych (albo o poprzedniku i następniku pary).Jonarz pisze:Więc zapis \(\displaystyle{ \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\) w powyższym wyrażeniu wskazuje na to, że ta para musi być uporządkowana w podanej kolejności, ale elementy \(\displaystyle{ (x,y)}\) "wstawiamy" jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a nie jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x,y}\) - czy dobrze to rozumiem?
Pytasz mnie jako teoriomnogościowca?Jonarz pisze:I czy zdefiniowanie "pary uporządkowanej" jako "pary liczb lub elementów, dla których ustalona została kolejność tychże" będzie właściwe i pełne?
Będzie to właściwy opis pary uporządkowanej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 11 razy
Para uporządkowana
Zapamiętam, dziękuję.Tak, choć w przypadku pary uporządkowanej nie mówimy o elementach, tylko o współrzędnych (albo o poprzedniku i następniku pary).
Dziękuję za pomoc, teraz wydaje się to o wiele jaśniejsze i sensowne