granice ciągów

[grzegorz87]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } sin(\pi \sqrt{n^{2}+n})}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{100}}{n!}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{2^{n}}{n^{100}}}\)

[Piotr Rutkowski]

W trzecim możesz sobie zrobić stukrotną hospitalizację

[mostostalek]

co do wyników:
w pierwszym wyrażenie pod sinusem wyraźnie dąży do nieskończoności a tam granica sinusa nie istnieje.. zatem granica nie istnieje

od pewnego miejsca silnia rośnie szybciej od potęgi.. zatem granica wyjdzie 0

w trzecim \(\displaystyle{ \infty}\) tak na oko wszystko

[andkom]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^{100}}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac1{(n-100)!}\frac n{n-99}\frac n{n-98}\frac n{n-97}\cdots\frac n{n}=\\=0\cdot1\cdot1\cdot1\cdot\cdots\cdot1=0}\)

[Sir George]

co do wyników:
w pierwszym wyrażenie pod sinusem wyraźnie dąży do nieskończoności a tam granica sinusa nie istnieje.. zatem granica nie istnieje

A to Cię zaskoczę, bo granica istnieje i jest równa 1.

A liczy się to całkiem łatwo:
\(\displaystyle{ \sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)\,=\,\sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi\right)\,= \,\sin\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\, \longrightarrow\, \sin\frac{\pi}{2}}\)

[andkom]

A to Cię zaskoczę, bo granica istnieje i jest równa 1.

A liczy się to całkiem łatwo:
\(\displaystyle{ \sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)\,=\,\sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi\right)\,= \,\sin\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\, \longrightarrow\, \sin\frac{\pi}{2}}\)

A jednak nie. Błąd jest w pierwszej równości. Okres sinusa to \(\displaystyle{ 2\pi}\), a nie \(\displaystyle{ \pi}\). Granica po indeksach parzystych wynosi 1, a po nieparzaystych wynosi -1. "Cały" ciąg granicy nie ma.

[Sir George]

A jednak nie. Błąd jest w pierwszej równości.

Aaaa.... racja, święta racja,... to już tak jest, jak się chce coś za szybko robić... Oczywiście sinus jest funkcją o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\). Chyba zasugerowałem się tym, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi)=0}\)... Cóż, bijąc się w piersi pozdrawiam....