Indukcja z ciągiem określonym rekurekcyjnie

[chudiniii]

Treść:

Ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) jest określony rekurencyjnie \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{2}\qquad x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}}\) dla \(\displaystyle{ n\in N}\). Wykaż że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez 2.


Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

[luka52]

Dowód, że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest ograniczony:
Należy zatem wykazać, że:
\(\displaystyle{ \forall_{n \mathbb{N}_+} x_n < 2}\)

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt{2} < 2 T(n_0)}\)
Zał. \(\displaystyle{ T(k): \ x_k < 2}\)
Teza \(\displaystyle{ T(k+1): \ x_{k+1} < 2}\)
Dowód
\(\displaystyle{ L_T = x_{k+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2 = P_T}\)