oblicz
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 22 wrz 2005, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 18 razy
oblicz
\(\displaystyle{ Im\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^6}}\)
Najpierw policzyć potęgi czy wymnożyć przez\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^{6}}\) a może wyciągnąć 6 potęgę przed nawias, zostawiając w środku 4 potęgę przy liczniku?
________________
\(\displaystyle{ 3i+2(4-i)^{3}}\)
Co oznacza ta kreska?
Najpierw policzyć potęgi czy wymnożyć przez\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^{6}}\) a może wyciągnąć 6 potęgę przed nawias, zostawiając w środku 4 potęgę przy liczniku?
________________
\(\displaystyle{ 3i+2(4-i)^{3}}\)
Co oznacza ta kreska?
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
oblicz
proponuję pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}-i}\), wynmożyc i skracać (powinno wyjść 0,5i)
kreska oznacza sprzężenie
kreska oznacza sprzężenie
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 22 wrz 2005, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 18 razy
oblicz
to w liczniku wychodzi mi coś takiego \(\displaystyle{ (1-i)^{10}*(\sqrt{3}-i)=(\sqrt{3}-1-2i\sqrt{3})*(1-i)^9}\)
wykorzystać tu wzór na potęgowanie? czy da się to jakoś inaczej?
wykorzystać tu wzór na potęgowanie? czy da się to jakoś inaczej?
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
oblicz
sorry, głupoty popisałem, pomyliłem się....
masz rację z tym mnożeniem mianownika. No więc po kolei:
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^6\cdot(\sqrt{3}-i)^6=((\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i))^6=4^6=2^{12}}\)
Teraz może będzie lepiej korzystając z postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i} \\
(1-i)^{10}=(\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i})^{10}=
2^5e^{\frac{35\pi}{2}i}=-2^5i}\)
No i ostatni:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-i=2e^{\frac{11\pi}{6}i} \\
(\sqrt{3}-i)^6=(2e^{\frac{11\pi}{6}i})^6=2^6e^{11\pi i}=-2^6}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^6}=
\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}-i)^6}{(\sqrt{3}+i)^6(\sqrt{3}-i)^6}=
\frac{(-2^5i)(-2^6)}{2^{12}}=\frac{2^{11}i}{2^{12}}=\frac{i}{2}}\)
masz rację z tym mnożeniem mianownika. No więc po kolei:
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^6\cdot(\sqrt{3}-i)^6=((\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i))^6=4^6=2^{12}}\)
Teraz może będzie lepiej korzystając z postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i} \\
(1-i)^{10}=(\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i})^{10}=
2^5e^{\frac{35\pi}{2}i}=-2^5i}\)
No i ostatni:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-i=2e^{\frac{11\pi}{6}i} \\
(\sqrt{3}-i)^6=(2e^{\frac{11\pi}{6}i})^6=2^6e^{11\pi i}=-2^6}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^6}=
\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}-i)^6}{(\sqrt{3}+i)^6(\sqrt{3}-i)^6}=
\frac{(-2^5i)(-2^6)}{2^{12}}=\frac{2^{11}i}{2^{12}}=\frac{i}{2}}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
oblicz
\(\displaystyle{ z=a+ib=|z|\left(\frac{a}{|z|}+i\frac{b}{|z|}\right) \\
z=|z|(\cos\phi + i \sin\phi) \ , z=|z|e^{i\phi} \\
\\
\begin{cases}
\cos\phi=\frac{a}{|z|} \\
\sin\phi=\frac{b}{|z|}
\end{cases}}\)
z=|z|(\cos\phi + i \sin\phi) \ , z=|z|e^{i\phi} \\
\\
\begin{cases}
\cos\phi=\frac{a}{|z|} \\
\sin\phi=\frac{b}{|z|}
\end{cases}}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
oblicz
Dla jakiego kąta zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos\phi=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin\phi=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}}\)
Jest to kąt \(\displaystyle{ \phi=-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}}\) (wybieram \(\displaystyle{ \phi}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) ).
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos\phi=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin\phi=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}}\)
Jest to kąt \(\displaystyle{ \phi=-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}}\) (wybieram \(\displaystyle{ \phi}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) ).