Wykaż, że:
a) NWD(a,b) = NWD(a-kb,b); w szczególności NWD(a,b) = NWD(b, (a)b) o ile b ≠ 0.
b) a|c , b|c, NWD(a,b) = 1 -> ab|c.
NWD wykazywanie
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
NWD wykazywanie
Co do b) wystarczy rozważyć rozkład na czynniki pierwsze wszystkich wyrazów
Co do a) natomiast to jest to po prostu algorytm Euklidesa.
Co do a) natomiast to jest to po prostu algorytm Euklidesa.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
NWD wykazywanie
\(\displaystyle{ a=p_{k_{1}}^{\alpha_{1}}p_{k_{2}}^{\alpha_{2}}...p_{k_{x}}^{\alpha_{x}}}\)
\(\displaystyle{ b=p_{l_{1}}^{\beta_{1}}p_{l_{2}}^{\beta_{2}}...p_{l_{y}}^{\beta_{y}}}\)
\(\displaystyle{ c=p_{m_{1}}^{\gamma_{1}}p_{m_{2}}^{\gamma_{2}}...p_{m_{z}}^{\gamma_{z}}}\)
Uff, jak się temu przypatrzysz, skoro:
\(\displaystyle{ a|c b|c}\) to wszystkie czynniki pierwsze a oraz b znajdują się także w c. Dalej:
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1 p_{k_{i}}\neq p_{l_{j}}}\).
Skoro tak, to w c znajdują się wszystkie dzielniki a oraz b, a żadne z nich się nie pokrywają, a więc...
\(\displaystyle{ b=p_{l_{1}}^{\beta_{1}}p_{l_{2}}^{\beta_{2}}...p_{l_{y}}^{\beta_{y}}}\)
\(\displaystyle{ c=p_{m_{1}}^{\gamma_{1}}p_{m_{2}}^{\gamma_{2}}...p_{m_{z}}^{\gamma_{z}}}\)
Uff, jak się temu przypatrzysz, skoro:
\(\displaystyle{ a|c b|c}\) to wszystkie czynniki pierwsze a oraz b znajdują się także w c. Dalej:
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1 p_{k_{i}}\neq p_{l_{j}}}\).
Skoro tak, to w c znajdują się wszystkie dzielniki a oraz b, a żadne z nich się nie pokrywają, a więc...
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
NWD wykazywanie
Widzę to, to działanie jest dla mnie oczywiste. Moje pytanie brzmi: Jak tego dowieść, by było ok?
Tak od początku do końca.
b) c|ab^c|bc -> c|NWD(ab,bc) = b.
Tak od początku do końca.
b) c|ab^c|bc -> c|NWD(ab,bc) = b.