Witam szanownych kolegów i koleżanki !
Interesuje mnie dowód następującej nierówności: \(\displaystyle{ 2^{n}}\)>\(\displaystyle{ n^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n\geqslant 5}\)
nierówność
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
nierówność
Dowód:
\(\displaystyle{ L_T = 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 k^2 > (k+1)^2 = P_T}\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż:
\(\displaystyle{ 2k^2 > (k+1)^2\\
k^2 > 2k + 1\\
k^2 - 2k > 1\\
(k-1)^2 > 2}\)
Co dla \(\displaystyle{ n q 5}\) jest prawdziwe.
\(\displaystyle{ L_T = 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 k^2 > (k+1)^2 = P_T}\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż:
\(\displaystyle{ 2k^2 > (k+1)^2\\
k^2 > 2k + 1\\
k^2 - 2k > 1\\
(k-1)^2 > 2}\)
Co dla \(\displaystyle{ n q 5}\) jest prawdziwe.