Indukcja - trzy zadania.

[Piotr Rutkowski]

Chodziło mi tutaj o to, że masz założenie dotyczące ciągu \(\displaystyle{ b_{1}}\), więc nie możesz sobie go zastosować dla innego ciągu

[micholak]

Aha w tym problem. Zalozenie jest inne.
Mianowicie
Dla kazdego (dowolnego) ciagu \(\displaystyle{ \{a_{i} \}}\) skonczonego o n, wyrazach takiego ze ich iloczyn jest rowny jeden zachodzi nierownosc
\(\displaystyle{ a_{1}+...+a_{n} q n}\)

[Molas.]

Eee?

Moglibyscie podac mi jak najbardziej doklady dowod indulcyjny? Bo nie za bardzo rozumiem to, o czym psizecie.

[Piotr Rutkowski]

Dobrze, ale nawet tak sformułowanego założenia nie będzie można wykorzystać. Zauważ, że nawet jeśli weźmiesz sobie dowolny taki ciąg, to w tezie będziemy mieli inny ciąg wyrazów (znaczy może być ten sam, ale nie musi, ponieważ, jeżeli początkowe n wyrazów będzie takie same jak w naszym założeniu, to wyraz n+pierwszy będzie musiał być równy 1, co godzi właśnie w dowolność ciągu w tezie).

[micholak]

Hmm.. to moze ja dokladnie powtorze co robimy.

Zakladamy ze
Dla kazdego (dowolnego) ciagu \(\displaystyle{ \{a_{i} \}}\) skonczonego o n, wyrazach takiego ze ich iloczyn jest rowny jeden zachodzi nierownosc
\(\displaystyle{ a_{1}+...+a_{n} q n}\)

Bierzyemy dowolny ciag o n+1 wyrazach, taki ze ich iloczyn jest rowny jeden

Jesli ten ciag sklada sie z samych jedynek to oczywiste.
Jesli nie jakis wyraz jest miejszy od jedynki a jakis wiekszy.
Tak je przenumerujemy ze \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wiekszy a \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) mniejszy od jedynki

Latwo zauwazyc ze
\(\displaystyle{ a_{n}+a_{n+1} q 1 + a_{n}a_{n+1}}\)

rozwazmy teraz ciag
\(\displaystyle{ b_{i}=a_{i}}\) dla i mniejszych ostro od n i \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n}a_{n+1}}\)


\(\displaystyle{ b_{1}...b_{n}=1}\) (to z tego ze jest tak dla a i z konstrukcji \(\displaystyle{ a_{1}...a_{n+1}=1}\)

ciag jest skonczony ma n wyrazow ktorych iloczyn jest rowny jeden wiec
\(\displaystyle{ b_{1}+...+b_{n} q n}\)

Podsumowujac to wszystko mamy
\(\displaystyle{ a_{1}+..+a_{n}+a_{n+1}\geq a_{1}+...+a_{n-1} + a_{n}a_{n+1} +1 q b_{1} +...+b_{n}+1 q n+1}\)

[Piotr Rutkowski]

Hmm, założenie jest w porządku czyli
\(\displaystyle{ a_{1}+...+a_{n} q n}\)
natomiast teza będzie już wyglądała tak:
\(\displaystyle{ y_{1}y_{2}...y_{n+1}=1 y_{1}+y_{2}+...+y_{n+1} q n+1}\)
Poza tym jeszcze bardziej zmniejszasz ogólność zakładając, że 1 wyraz jest większy od jedynki, a drugi mniejszy. Przecież może być tak, że np. 50 wyrazów będzie większych od jedynki, a tylko 1 mniejszy

[micholak]

Nie zakladam ze pierwszy jest wiekszy a drugi mniejszy. Po prostu tak prznumeruje ciag aby tak bylo (mozna tak zrobic a dodawanie jest przemienne i mnozenie wiec to nic nie zmieni)

[Piotr Rutkowski]

Tak, ale zakładasz w ogóle, że tak jest. A jak już mówiłem możemy mieć sobie dowolnie wiele wyrazów większych od jedynki, a np. tylko jeden wyraz od niego mniejszy. Przykład:
Weźmy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{1}=10^{-n+1} \\ a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=10}\) ciąg ten spełnia warunki zadania i mamy n-1 wyrazów większych od jedynki, a tylko jeden mniejszy

[micholak]

Ale o pozostalych wyrazach nic nie zakladam. Zakladam tylko tyle ze istnieje jeden wiekszy i jeden mniejszy, reszta moze byc dowolna, nie ma znaczenia jaka

[Piotr Rutkowski]

OK, racja teraz załapałem jakie wykonujesz operacje. Problem wyniknął z tego, że używałeś niewłaściwych oznaczeń, bo w założeniu i tezie użyłeś tych samych symboli. OK, przyznaję rację. Sorki za nieporozumienie