Twierdzenia - dowodzenie.

[ghaal]

Mam problem z następującymi zadaniem:

Udowodnij Twierdzenia:

1. Iloczyn liczby wymiernej różnej od 0 i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.
2. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną.
3. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Jeżeli ktoś zdecyduje sie pomóc, to proszę także o wytłumaczenie w miarę możliwości co się dzieje po kolei, bo niestety udowodnianie twierdzeń raczej słabiutko rozumiem.

Z góry dziękuję!

[Lider_M]

1. Załóżmy, że tak nie jest. Niech liczbą wymierną będzie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) a niewymierną \(\displaystyle{ c}\) i niech ich iloczyn będzie wymierny \(\displaystyle{ \frac{d}{e}}\) dla \(\displaystyle{ a,b,d,e\in\mathbb{Z}}\), wtedy zachodziłoby:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}c=\frac{d}{e} \\ c=\frac{db}{ae}}\)
co jest sprzecznością, gdyż z założenia liczba \(\displaystyle{ c}\) jest niewymierna i nie można jej zapisać w takiej postaci (tzn w postaci ilorazu liczb naturalnych)

2. Niech \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}+\sqrt{3}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ a^2=2+2\sqrt{6}+3\\
a^2-5=2\sqrt{6}}\), więc:
\(\displaystyle{ a^4-10a^2+25=24\\
a^4-10a^2+1=0}\)
i z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu wynika, że jeżeli ten wielomian miałby wymierny pierwiastek to należałby do zbioru \(\displaystyle{ \{-1,1\}}\), a oczywiście liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\) nie należy do tego zbioru.
3. Załóżmy, że wszystkie liczby pierwsze należą do skończonego zbioru \(\displaystyle{ \{p_1,p_2,...,p_n\}}\), gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) jest i-tą kolejną liczbą pierwszą. Rozważmy wtedy liczbę:
\(\displaystyle{ M=p_1p_2\cdot ... p_n+1}\) łatwo można pokazać, że ta liczba nie jest podzielna przez żadną z liczb należących do zbioru liczb pierwszych, więc.... ?

[ghaal]

Ogromne dzięki!

[kaasieek]

Witam ! mam problem z dowodami twierdzeń. jeśli nie wiem, co napisać po prostu podstawiam liczby. podam może przykład, który mi nie wychodzi...

'Udowodnij, że dla dowolnej nieparzystej liczby calkowitej n, liczba n^3+3n^2-n-3 jest podzielna przez 48.

bardzo proszę kogoś o w miarę logiczne wytłumaczenie tego, gdyż ja zatrzymałam się na zapisaniu twierdzenia i tezy... ja najchętniej po prostu podstawiłabym tu liczbę...

[Jan Kraszewski]

'Udowodnij, że dla dowolnej nieparzystej liczby calkowitej n, liczba n^3+3n^2-n-3 jest podzielna przez 48.

bardzo proszę kogoś o w miarę logiczne wytłumaczenie tego, gdyż ja zatrzymałam się na zapisaniu twierdzenia i tezy... ja najchętniej po prostu podstawiłabym tu liczbę...

Nie wątpię, że zaraz ktoś Ci szczegółowo pomoże. Ja tylko zwrócę Twą uwagę, że jeśli podstwisz liczbę (nieparzystą), to istotnie dostaniesz liczbę podzielną przez 48. Ale w ten sposób udowodnisz tylko, że ta konkretna, podstawiona przez Ciebie liczba spełnia tezę twierdzenia. Tymczasem masz pokazać, że dowolna liczba nieparzysta spełnia tezę. Ponieważ liczb nieparzystych jest za dużo, byś sprawdziła je wszystkie po kolei, więc musisz wykombinować rozumowanie o charakterze ogólnym, prawdziwe dla wszystkich liczb nieparzystych równocześnie. Jak to zrobić? No, tu tkwi właśnie trudność matematyki (i jej urok zarazem ). Spróbuj najpierw rozłożyć wyrażenie n^3+3n^2-n-3 na czynniki liniowe...
JK

[kaasieek]

rozumiem, że w ten sposób udowodnię, że spełnia tą tezę ta jedna, przeze mnie podstawiona konkretna nieparzysta liczba, ale przepraszam, jeśli urażę.
ja nie mam pojęcia, co to jest czynnik liniowy, bądź też wiem, a nie znam po prostu tego pod takim pojęciem. proszę uprzejmie o jakąś wskazówkę.

[Jan Kraszewski]

rozumiem, że w ten sposób udowodnię, że spełnia tą tezę ta jedna, przeze mnie podstawiona konkretna nieparzysta liczba, ale przepraszam, jeśli urażę.
ja nie mam pojęcia, co to jest czynnik liniowy, bądź też wiem, a nie znam po prostu tego pod takim pojęciem. proszę uprzejmie o jakąś wskazówkę.

Bardziej chodziło mi o to, byś zrozumiała, dlaczego podstawienie jednej liczby nic Ci nie da.A jeśli chodzi o rozkład, to miałem na myśli \(\displaystyle{ n^3+3n^2-n-3=(n^2-1)(n+3)=(n-1)(n+1)(n+3)}\).
Teraz zauważ, że jeśli n jest nieparzysta, to każda z liczb n-1, n+1, n+3 jest parzysta, ponadto jedna przynajmniej jest podzielna przez 4 (bo to są 3 kolejne parzyste), czyli Twoja liczba musi być podzielna przez 16. Ponadto przynajmniej jedna z ww. liczb jest podzielna przez 3 (pomyśl, dlaczego), co już razem daje podzielność przez 48.
JK
PS. A dlaczego miałbym być urażony

[kaasieek]

tak myślałam, że wiem, co kryje się pod tym pojęciem, ale nie wiedziałam, ze to się tak nazywa...

rozumiem, że jedna z tych liczb musi być podzielna przez 4, ale nie rozumiem, dlaczego daje to podzielność przez 16?
z tą podzielnością nie rozumiem, ale takie są uroki tłumaczenia przez internet. mimo wszystko bardzo Panu dziękuję.

[Piotr Rutkowski]

Mamy tu iloczyn 3 kolejnych liczb parzystych. Wśród nich wszystkie są podzielne przez 2 i co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 4 (bo co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4). To nam daje podzielność iloczynu przez 2*2*4=16

[kaasieek]

przepraszam najmocniej, czy mógłby pan tylko zerknąć na to okiem, bo nie wiem, czy to jest dobrze i czy mam poprawne rozumowanie...

'Udowodnij, że jeżeli x,y,z są liczbami całkowitymi i liczba x+y+z jest podzielna przez 3, to liczby m i n są podzielne przez 3.

Z: y (- C , x (- C, z (- C i x+y+z= 6b x+y+z=6a+6g+6p=6b
T: x^3 +y^3 + z^3=6d ; d (- C

D: L=x^3 +y^3 +z^3 =(6a)^3 +(6g)^3 +(6p)^3=216a^3 +216g^3 +216p^3=6(36a^3+ 36g^3+ 36p^3)= 6d= P

co należało dowieść.

' (- ' ----------> 'należy'
' ^ ' ---------> 'potęga'

[Jan Kraszewski]

Hmm... czy mogłabyś dokładnie podać treść zadania? Co to są m i n?
JK
ps. Na forum, korzystając z internetowej anonimowości, nie jestem Panem...
PPs. Zerknij na instrukcję pisania w TeXu, to naprawdę nie jest trudne.